Leoncruz82 (talk | contribs) (→3 Modelo hospedero-vector independientemente de las edades) |
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Cuando una persona es picada por un mosquito infectado, los síntomas suelen comenzar entre 3 y 7 días después del período de incubación. Durante este tiempo, el virus se multiplica en el organismo del infectado, pero la persona no presenta síntomas ni es contagiosa para otros. Los síntomas incluyen dolor intenso en las articulaciones, fiebre superior a 39°C, dolor muscular y, ocasionalmente, náuseas, vómitos y erupciones cutáneas. El dolor articular puede ser tan intenso que resulta debilitante o incapacitante <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. Tras una semana, la mayoría de los pacientes experimenta una notable mejora: la fiebre, el cansancio y la artralgia disminuyen significativamente en 1 o 2 semanas, aunque frecuentemente se produce una recaída <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Actualmente, no existe un tratamiento específico para la infección por chikungunya; el manejo se limita a aliviar los síntomas con medicación analgésica y antiinflamatoria <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. | Cuando una persona es picada por un mosquito infectado, los síntomas suelen comenzar entre 3 y 7 días después del período de incubación. Durante este tiempo, el virus se multiplica en el organismo del infectado, pero la persona no presenta síntomas ni es contagiosa para otros. Los síntomas incluyen dolor intenso en las articulaciones, fiebre superior a 39°C, dolor muscular y, ocasionalmente, náuseas, vómitos y erupciones cutáneas. El dolor articular puede ser tan intenso que resulta debilitante o incapacitante <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. Tras una semana, la mayoría de los pacientes experimenta una notable mejora: la fiebre, el cansancio y la artralgia disminuyen significativamente en 1 o 2 semanas, aunque frecuentemente se produce una recaída <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Actualmente, no existe un tratamiento específico para la infección por chikungunya; el manejo se limita a aliviar los síntomas con medicación analgésica y antiinflamatoria <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. | ||
| − | Se ha reportado el fenómeno de recaída en las infecciones por chikungunya <span id='citeF-8'></span><span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span>[[#cite-8|[8,9,10]]]. La recaída se define como la reaparición de artralgia debido a la persistencia del virus en las células del tejido musculoesquelético después de un período sin síntomas de al menos una semana <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] o después de un mes <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. En un estudio de cohortes realizado en Francia, basado en datos de un sistema de vigilancia de laboratorio, se confirmó la infección inicial mediante una prueba de anticuerpos o PCR (reacción en cadena de la polimerasa). En ese estudio, se reportaron recaídas de artralgia en el 72% de los pacientes; el número promedio de recaídas fue de 4 y el tiempo promedio entre dos recaídas fue de 8 semanas <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Por otro lado, un estudio transversal realizado en Acapulco, Guerrero, en diciembre de 2015, encontró que el 66% de la población (3,531 de 5,870 personas) autoreportó haber estado infectada | + | Se ha reportado el fenómeno de recaída en las infecciones por chikungunya <span id='citeF-8'></span><span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span>[[#cite-8|[8,9,10]]]. La recaída se define como la reaparición de artralgia debido a la persistencia del virus en las células del tejido musculoesquelético después de un período sin síntomas de al menos una semana <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] o después de un mes <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. En un estudio de cohortes realizado en Francia, basado en datos de un sistema de vigilancia de laboratorio, se confirmó la infección inicial mediante una prueba de anticuerpos o PCR (reacción en cadena de la polimerasa). En ese estudio, se reportaron recaídas de artralgia en el 72% de los pacientes; el número promedio de recaídas fue de 4 y el tiempo promedio entre dos recaídas fue de 8 semanas <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Por otro lado, un estudio transversal realizado en Acapulco, Guerrero, en diciembre de 2015, encontró que el 66% de la población (3,531 de 5,870 personas) autoreportó haber estado infectada. De los cuales, el 31.1% (1,098 de 3,531) experimentó al menos una recaída un mes después de recuperarse. Entre ellos, el 13% informó una recaída, el 12% tuvo dos, el 4% tres y solo el 2% reportó más de cuatro recaídas <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. |
La edad como factor de riesgo es común en las enfermedades infecciosas transmitidas por vectores. En el caso del chikungunya, un estudio de seropositividad reportó la frecuencia de positivos al virus en los siguientes grupos etarios: 33% en el grupo de 0 a 19 años, 62% en el de 20 a 39 años, 67.4% en el de 40 a 49 años, 75% en el de 50 a 59 años, 59% en el de 60 a 69 años, 25% en el de 70 a 79 años y 33% en el de 80 años y más <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]], lo que muestra una variabilidad en la susceptibilidad al virus. | La edad como factor de riesgo es común en las enfermedades infecciosas transmitidas por vectores. En el caso del chikungunya, un estudio de seropositividad reportó la frecuencia de positivos al virus en los siguientes grupos etarios: 33% en el grupo de 0 a 19 años, 62% en el de 20 a 39 años, 67.4% en el de 40 a 49 años, 75% en el de 50 a 59 años, 59% en el de 60 a 69 años, 25% en el de 70 a 79 años y 33% en el de 80 años y más <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]], lo que muestra una variabilidad en la susceptibilidad al virus. | ||
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A partir de este modelo hospedero-vector con dos estructuras de edad, obtendremos un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para el virus del chikungunya, tal como fue propuesto por Vázquez-Peña et al. <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]], el cual se discutirá en la Sección 3. | A partir de este modelo hospedero-vector con dos estructuras de edad, obtendremos un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para el virus del chikungunya, tal como fue propuesto por Vázquez-Peña et al. <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]], el cual se discutirá en la Sección 3. | ||
| − | En este trabajo, se propone estimar los parámetros y el número reproductivo básico utilizando un enfoque Bayesiano con los datos del brote de chikungunya en Acapulco, Guerrero <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. Para ello, emplearemos el modelo hospedero-vector presentado en la Sección 3. La metodología del enfoque Bayesiano se describirá en la Sección 4, mientras que la estimación Bayesiana de los parámetros y del número reproductivo básico ([[#eq-12|12]]) se presentará en la Sección 5. Finalmente, en la Sección 6, se realizarán | + | En este trabajo, se propone estimar los parámetros y el número reproductivo básico utilizando un enfoque Bayesiano con los datos del brote de chikungunya en Acapulco, Guerrero <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. Para ello, emplearemos el modelo hospedero-vector presentado en la Sección 3. La metodología del enfoque Bayesiano se describirá en la Sección 4, mientras que la estimación Bayesiana de los parámetros y del número reproductivo básico ([[#eq-12|12]]) se presentará en la Sección 5. Finalmente, en la Sección 6, se realizarán algunas comentarios finales. |
==2 Modelo hospedero-vector con dos estructura de edades== | ==2 Modelo hospedero-vector con dos estructura de edades== | ||
| − | Denotamos por <math display="inline">N_h</math> y <math display="inline">N_v</math> | + | Denotamos por <math display="inline">N_h</math> y <math display="inline">N_v</math> el número total de hospederos y vectores, respectivamente. Las poblaciones de hospederos y vectores se dividen en clases disjuntas según su estado epidemiológico. Para los hospederos, consideramos cuatro grupos: susceptibles (<math display="inline">S_h(t, \tau)</math>), infectados (<math display="inline">I_h(t, \tau)</math>), asintomáticos (<math display="inline">A_h(t, \omega)</math>) y recuperados (<math display="inline">R_h(t, \tau)</math>). En contraste, los vectores se dividen únicamente en susceptibles (<math display="inline">S_v(t)</math>) e infectados (<math display="inline">I_v(t)</math>). |
La edad cronológica se denota por <math display="inline">\tau </math>, de manera que <math display="inline">s_h(t, \tau )</math> representa la cantidad de hospederos susceptibles con edad cronológica <math display="inline">\tau </math> en el tiempo <math display="inline">t</math>. Entonces, el total de hospederos susceptibles está dado por | La edad cronológica se denota por <math display="inline">\tau </math>, de manera que <math display="inline">s_h(t, \tau )</math> representa la cantidad de hospederos susceptibles con edad cronológica <math display="inline">\tau </math> en el tiempo <math display="inline">t</math>. Entonces, el total de hospederos susceptibles está dado por | ||
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| − | La tasa de transmisión del vector infectado al hospedero susceptible está definida por <math display="inline">\frac{b}{N_h} \beta _h(\tau ) s_h(t, \tau ) I_v(t)</math>, donde <math display="inline">b</math> es el promedio de picaduras por unidad de tiempo y <math display="inline">\frac{b}{N_h}</math> representa el número promedio de picaduras por unidad de tiempo por cada hospedero. Esto significa que se está distribuyendo el número total de picaduras entre el total de | + | La tasa de transmisión del vector infectado al hospedero susceptible está definida por <math display="inline">\frac{b}{N_h} \beta _h(\tau ) s_h(t, \tau ) I_v(t)</math>, donde <math display="inline">b</math> es el promedio de picaduras por unidad de tiempo y <math display="inline">\frac{b}{N_h}</math> representa el número promedio de picaduras por unidad de tiempo por cada hospedero. Esto significa que se está distribuyendo el número total de picaduras entre el total de hospederos. Al mismo tiempo, la clase de hospederos susceptibles disminuye debido a la muerte natural a una tasa <math display="inline">\mu_h</math> y a alguna estrategia de prevención, como la vacunación, enfocada únicamente a ciertos grupos de edad, la cual será modelada por el parámetro <math display="inline">\rho (\tau )</math>. Por lo tanto, definimos <math display="inline">\varepsilon (\tau ) = \mu _h + \rho (\tau )</math>. |
Bajo estas hipótesis, se formula la primera ecuación del modelo: | Bajo estas hipótesis, se formula la primera ecuación del modelo: | ||
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Dado que el sistema ([[#eq-11|11]]) es un caso particular del sistema integro-diferencial ([[#eq-4|4]]), obtenemos el siguiente corolario derivado del Teorema [[#theorem-TeoEndemico|1]]. | Dado que el sistema ([[#eq-11|11]]) es un caso particular del sistema integro-diferencial ([[#eq-4|4]]), obtenemos el siguiente corolario derivado del Teorema [[#theorem-TeoEndemico|1]]. | ||
| − | Corolario 1: i) Cuando <math display="inline">R_0\ | + | Corolario 1: i) Cuando <math display="inline">R_0\leq1</math> entonces el punto de equilibrio libre de la enfermedad <math display="inline">E_0</math> del sistema ([[#eq-11|11]]) es global asintóticamente estable. |
| + | ii) Cuando <math display="inline">R_0>1</math> entonces el punto de equilibrio endémico <math display="inline">E^*</math> del sistema ([[#eq-11|11]]) es global asintóticamente estable. | ||
==4 Estimación Bayesiana== | ==4 Estimación Bayesiana== | ||
| Line 462: | Line 463: | ||
===4.1 Brote de chikungunya en Acapulco=== | ===4.1 Brote de chikungunya en Acapulco=== | ||
| − | En 2015, Acapulco, Guerrero, experimentó un brote de chikungunya. En <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] se realizó un estudio transversal para caracterizar dicho brote epidémico, que incluyó encuestas en 1,305 viviendas distribuidas en ocho conglomerados urbanos considerados representativos de Acapulco. En total, se administraron 5,870 cuestionarios, identificando 3,531 casos de chikungunya entre enero y diciembre de 2015. | + | En 2015, Acapulco, Guerrero, experimentó un brote de chikungunya. En <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] se realizó un estudio transversal para caracterizar dicho brote epidémico, que incluyó encuestas en 1,305 viviendas distribuidas en ocho conglomerados urbanos considerados representativos de Acapulco. En total, se administraron 5,870 cuestionarios, identificando 3,531 casos de chikungunya entre enero y diciembre de 2015. Para asegurar la representatividad en el estudio <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], se realizó un muestreo intencional que buscaba reflejar las condiciones urbanas promedio de Acapulco, lo cual es clave en contextos donde no se puede utilizar un muestreo probabilístico. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | Para reducir el impacto de las fluctuaciones aleatorias o ruido en los datos reportados de los casos de chikungunya <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], se aplica el método de suavizamiento exponencial: | ||
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" | {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" | ||
|- | |- | ||
| Line 477: | Line 475: | ||
|} | |} | ||
| − | donde <math display="inline">F_{t+1}</math> es la | + | donde <math display="inline">F_{t+1}</math> es el pronóstico de casos de chikungunya para el tiempo <math display="inline">t+1</math> de la serie de tiempo, donde <math display="inline">Y_{t}</math> representa el valor observado de casos de chikungunya en el tiempo <math display="inline">t</math>, <math display="inline">F_{t}</math> es el pronóstico de casos de chikungunya para el tiempo <math display="inline">t</math>, y <math display="inline">\alpha</math> es la constante de suavizamiento (<math display="inline">0 < \alpha < 1</math>). Se supone que el pronóstico inicial <math display="inline">F_0</math> de casos de chikungunya es igual al primer valor observado <math display="inline">Y_0</math>. Con el suavizado, logramos obtener valores con menor variabilidad, lo que permite observar mejor la evolución de la serie temporal. La estimación Bayesiana se realizará con <math display="inline">F_{t+1}</math>. |
| − | + | ||
| − | + | Utilizando los datos recabados por <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] sobre los casos mensuales autoinformados de chikungunya y el método de suavizamiento exponencial con un valor de <math display="inline">\alpha = 0.7</math>, se ajustará la curva de los humanos infectados <math display="inline">I_h</math> para estimar de manera puntual y por intervalo los parámetros y el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math> ([[#eq-12|12]]) del modelo ([[#eq-11|11]]). | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
===4.2 Modelo estadístico=== | ===4.2 Modelo estadístico=== | ||
| − | Para <math display="inline">\ | + | Para <math display="inline">\boldsymbol{y}=(y(t_1)</math>, <math display="inline">y(t_2),\dots, y (t_n) )</math> el vector de <math display="inline">n</math> observaciones del número de humanos infectados (<math display="inline">I_h (t)</math>) en el tiempo <math display="inline">t</math>, considere el siguiente modelo estadístico: |
<span id="eq-15"></span> | <span id="eq-15"></span> | ||
| Line 496: | Line 489: | ||
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | | style="text-align: center;" | <math>y_{i}(t_i)=G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta }))+\varepsilon (t_i), \quad | + | | style="text-align: center;" | <math>y_{i}(t_i)=G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta}))+\varepsilon (t_i), \quad |
| + | i=1,2,\dots,n </math> | ||
|} | |} | ||
| − | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( | + | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15) |
|} | |} | ||
donde: | donde: | ||
| − | + | * <math display="inline">y(t_i)</math> es el número de humanos infectados (<math display="inline">I_h (t)</math>) en el tiempo <math display="inline">t_i</math>. | |
| − | * <math display="inline"> | + | * <math display="inline">\boldsymbol{\theta}</math> es vector de parámetros en la estimación Bayesiana. |
| − | * <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> es vector de parámetros en la estimación Bayesiana. | + | * <math display="inline">G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta}))</math> es la solución numérica del modelo <math display="inline">\mathcal{M}</math> ([[#eq-11|11]]) con el método <math display="inline">G</math>. En este caso se usó el método numérico de Runge-Kutta de orden 4. |
| − | * <math display="inline">G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta }))</math> es la solución numérica del modelo <math display="inline">\mathcal{M}</math> ([[#eq-11|11]]) con el método <math display="inline">G</math>. En este caso se usó el método numérico de Runge-Kutta de orden 4. | + | * <math display="inline">\varepsilon(t_i)</math> es el error aleatorio en el tiempo <math display="inline">t_i</math>, los errores son independientes para cada tiempo, normalmente distribuidos con media cero y varianza <math display="inline">\sigma^2</math>. |
| − | * <math display="inline">\varepsilon (t_i)</math> es el error aleatorio en el tiempo <math display="inline">t_i</math>, los errores son independientes para cada tiempo, normalmente distribuidos con media cero y varianza <math display="inline">\sigma ^2</math>. | + | |
===4.3 Función de verosimilitud=== | ===4.3 Función de verosimilitud=== | ||
| − | Considerando el supuesto de normalidad <math display="inline">\varepsilon (t_i) \sim N(0, \sigma ^2)</math>, entonces se tiene que <math display="inline"> | + | |
| + | Considerando el supuesto de normalidad para el error aleatorio <math display="inline">\varepsilon(t_i) \sim N(0, \sigma^2)</math>, entonces se tiene que <math display="inline">y(t_i) \sim N\left(G(\mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta})), \sigma^2\right)</math>. Por tal razón, la función de verosimilitud está dada por la ecuación ([[#eq-16|16]]): | ||
<span id="eq-16"></span> | <span id="eq-16"></span> | ||
| Line 518: | Line 512: | ||
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | | style="text-align: center;" | <math>L(\boldsymbol{\theta } \mid \ | + | | style="text-align: center;" | <math>L(\boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y}) = \prod_{i=1}^{n} \left(\sigma^2\right)^{-\frac{1}{2}} \exp\left\{-\frac{(y(t_i) - G(\mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta})))^2}{2 \sigma^2} \right\} </math> |
|} | |} | ||
| − | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( | + | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16) |
|} | |} | ||
===4.4 Distribución a priori y a posteriori=== | ===4.4 Distribución a priori y a posteriori=== | ||
| − | La estadística Bayesiana permite incorporar | + | La estadística Bayesiana permite al investigador incorporar conocimiento de los parámetros al proceso de inferencia. Esta información se especifica por medio de una ''distribución a priori'' (<math display="inline">P(\boldsymbol{\theta})</math>) y puede restringir la inferencia a un rango de interés y asignar mayor probabilidad a un subconjunto de valores. Esto permite enfocarse en los rangos plausibles según el conocimiento de la literatura o la definición del parámetro en el modelo matemático. Por ejemplo, la probabilidad de transmisión de vector a humano está definida en el intervalo <math display="inline">[0, 1]</math>. Dado que se trata de una probabilidad, es conveniente utilizar o definir distribuciones a priori con soporte en este mismo intervalo, como la distribución uniforme <math display="inline">U(0, 1)</math> o la distribución Beta <math display="inline">Beta(\alpha, \beta)</math>, entre otras. Para proponer la ''distribución a priori'' de <math display="inline">\boldsymbol{\theta}</math> se consultaron en la literatura los valores que se han reportado y se muestran en la Tabla [[#table-1|1]]. |
| − | + | {| class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;" | |
| − | {| class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;" | + | |+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 Distribuciones a priori seleccionadas con base en los valores reportados en la literatura. |
| − | |+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 Distribuciones a priori seleccionadas con base en los valores reportados en la literatura | + | |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| colspan='1' | Parámetro | | colspan='1' | Parámetro | ||
| Line 540: | Line 533: | ||
| rowspan='4' | Probabilidad de transmisión de vector a humano | | rowspan='4' | Probabilidad de transmisión de vector a humano | ||
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | | <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | ||
| − | | 0.99 [0.6,1] | + | | <math>0.99 [0.6,1]</math> |
| rowspan='4' | <math>Beta(5,2)</math> | | rowspan='4' | <math>Beta(5,2)</math> | ||
|- | |- | ||
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | | <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | ||
| − | | 0.37 | + | | <math>0.37</math> |
|- | |- | ||
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | | <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | ||
| − | | [0.5, 0.8] | + | | <math>[0.5, 0.8]</math> |
|- | |- | ||
| <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]] | | <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]] | ||
| − | | 0.67 [0.26, 1] | + | | <math>0.67 [0.26, 1]</math> |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| rowspan='3' | <math>\beta _v</math> | | rowspan='3' | <math>\beta _v</math> | ||
| rowspan='3' | Probabilidad de transmisión de humano a vector | | rowspan='3' | Probabilidad de transmisión de humano a vector | ||
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | | <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | ||
| − | | 0.6 [0.6,1] | + | | <math>0.6 [0.6,1]</math> |
| rowspan='3' | <math>Beta(5,2)</math> | | rowspan='3' | <math>Beta(5,2)</math> | ||
|- | |- | ||
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | | <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | ||
| − | | 0.375 | + | | <math>0.375</math> |
|- | |- | ||
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | | <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | ||
| − | | 0.37 | + | | <math>0.37</math> |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| rowspan='3' | <math>b</math> | | rowspan='3' | <math>b</math> | ||
| rowspan='3' | Número de picaduras | | rowspan='3' | Número de picaduras | ||
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | | <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | ||
| − | | 2.46 [1,3] | + | | <math>2.46 [1,3]</math> |
| rowspan='3' | <math>U(0,4)</math> | | rowspan='3' | <math>U(0,4)</math> | ||
|- | |- | ||
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | | <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | ||
| − | | 1 | + | | <math>1</math> |
|- | |- | ||
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | | <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | ||
| − | | 0.5 or 1 | + | | <math>0.5</math> or <math>1</math> |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| rowspan='3' | <math>\mu _v</math> | | rowspan='3' | <math>\mu _v</math> | ||
| rowspan='3' | Tasa de muerte y nacimiento de vectores <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> | | rowspan='3' | Tasa de muerte y nacimiento de vectores <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> | ||
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | | <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] | ||
| − | | 2.72 | + | | <math>2.72</math> |
| rowspan='3' | <math>U(2,4.5)</math> | | rowspan='3' | <math>U(2,4.5)</math> | ||
|- | |- | ||
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | | <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] | ||
| − | | 4.28 | + | | <math>4.28</math> |
|- | |- | ||
| <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] | | <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] | ||
| − | | 2.14 | + | | <math>2.14</math> |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| rowspan='3' | <math>\gamma </math> | | rowspan='3' | <math>\gamma </math> | ||
| rowspan='3' | Tasa de recuperación <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> | | rowspan='3' | Tasa de recuperación <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> | ||
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | | <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] | ||
| − | | [3.7,4.5] | + | | <math>[3.7,4.5]</math> |
| rowspan='3' | <math>U(2.5,7.5)</math> | | rowspan='3' | <math>U(2.5,7.5)</math> | ||
|- | |- | ||
| Line 598: | Line 591: | ||
|- | |- | ||
| <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] | | <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] | ||
| − | | [2,6] | + | | <math>[2,6]</math> |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| <math display="inline">p</math> | | <math display="inline">p</math> | ||
| Fracción de infectados que se vuelven asintomáticos | | Fracción de infectados que se vuelven asintomáticos | ||
| + | | Supuesto | ||
| | | | ||
| − | |||
| <math>U(0,1)</math> | | <math>U(0,1)</math> | ||
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| Line 609: | Line 602: | ||
| rowspan='2' | Tasa de recaída <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> | | rowspan='2' | Tasa de recaída <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> | ||
| <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] | | <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] | ||
| − | | 0.5 | + | | <math>0.5</math> |
| rowspan='2' | <math>U(0,1)</math> | | rowspan='2' | <math>U(0,1)</math> | ||
|- | |- | ||
| <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] | | <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] | ||
| − | | 0.66 | + | | <math>0.66</math> |
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| <math display="inline">\kappa </math> | | <math display="inline">\kappa </math> | ||
| Line 624: | Line 617: | ||
| Número total de vectores | | Número total de vectores | ||
| Supuesto | | Supuesto | ||
| − | | 2 a 4.5 veces el número total de humanos | + | | <math>2</math> a <math>4.5</math> veces el número total de humanos |
| <math>U(11740, 26415)</math> | | <math>U(11740, 26415)</math> | ||
|- style="border-top: 2px solid;" | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| Line 636: | Line 629: | ||
| Número total de humanos | | Número total de humanos | ||
| <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] | | <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] | ||
| − | | 5870 | + | | <math>5870</math> |
| Valor fijo | | Valor fijo | ||
| + | |}<small>'''Nota:''' En las distribuciones Beta <math display="inline">Beta(\alpha,\beta)</math>, <math display="inline">\alpha</math> y <math display="inline">\beta</math> son parámetros de forma, mientras que en las distribuciones uniformes <math display="inline">U(a,b)</math>, <math display="inline">a</math> y <math display="inline">b</math> son los valores mínimo y máximo.</small> | ||
| − | + | La inferencia Bayesiana se basa en la ''distribución a posteriori'', por el teorema de Bayes la distribución a posteriori esta definida por ([[#eq-17|17]]): | |
| − | + | ||
| − | + | ||
<span id="eq-17"></span> | <span id="eq-17"></span> | ||
| Line 649: | Line 641: | ||
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | | style="text-align: center;" | <math>P(\boldsymbol{\theta } \mid \mathbf{y})=\frac{P(\mathbf{y} \mid \boldsymbol{\theta }) P(\boldsymbol{\theta })}{P\left(\mathbf{y} \right)} </math> | + | | style="text-align: center;" | <math>P(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})=\frac{P(\mathbf{y} \mid \boldsymbol{\theta}) P(\boldsymbol{\theta})}{P\left( \mathbf{y} \right) } </math> |
|} | |} | ||
| − | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( | + | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17) |
|} | |} | ||
donde | donde | ||
| − | * <math display="inline">P(\boldsymbol{\theta } \mid \ | + | * <math display="inline">P(\boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y})</math> es la distribución a posteriori de <math display="inline">\boldsymbol{\theta}</math> dada un conjunto de observaciones <math display="inline">Y</math>. |
| − | * <math display="inline">P(\ | + | * <math display="inline">P(\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{\theta})</math> es la distribución de las observaciones <math display="inline">\boldsymbol{Y}</math> para un valor específico del vector <math display="inline">\boldsymbol{\theta}</math>. |
| − | * <math display="inline"> P(\boldsymbol{\theta })</math> distribución a priori. | + | * <math display="inline">P(\boldsymbol{\theta})</math> distribución a priori. |
| − | * <math display="inline">P(\ | + | * <math display="inline">P(\boldsymbol{y})</math> es una constante de normalización <math display="inline">\int_p P(\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{\theta}) P(\boldsymbol{\theta}) d \boldsymbol{\theta} </math>. |
| + | |||
| + | Note que la expresión ([[#eq-17|17]]) está bien definida si <math display="inline">P(\mathbf{y} )\neq0</math>. <math display="inline">P(\mathbf{y})</math> es constante, por tanto podemos reescribir ([[#eq-17|17]]) como ([[#eq-18|18]]): | ||
| − | |||
<span id="eq-18"></span> | <span id="eq-18"></span> | ||
| Line 669: | Line 662: | ||
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | | style="text-align: center;" | <math>P(\boldsymbol{\theta } \mid \mathbf{y})\propto P(\mathbf{y} \mid \boldsymbol{\theta }) P (\boldsymbol{\theta }). </math> | + | | style="text-align: center;" | <math>P(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})\propto P(\mathbf{y} \mid \boldsymbol{\theta}) P (\boldsymbol{\theta}). </math> |
|} | |} | ||
| − | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( | + | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18) |
|} | |} | ||
| − | En | + | En la inferencia Bayesiana es necesario obtener integrales que involucran la distribución a posteriori. Un ejemplo es la media de la distribución a posteriori. |
<span id="eq-19"></span> | <span id="eq-19"></span> | ||
| Line 682: | Line 675: | ||
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | | style="text-align: center;" | <math>E[ \boldsymbol{\theta } \mid \boldsymbol{y} ] = \ | + | | style="text-align: center;" | <math>E[ \boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y} ] = \int_{}^{} \cdots \int_{}^{} \boldsymbol{\theta} P(\boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y}) \, d \boldsymbol{\theta}. </math> |
|} | |} | ||
| − | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( | + | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19) |
|} | |} | ||
| − | Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, la integral de la marginalización ([[#eq-19|19]]) no puede resolverse de forma analítica debido a la | + | Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, la integral de la marginalización ([[#eq-19|19]]) no puede resolverse de forma analítica debido a la complejidad de <math display="inline">P\left( \boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y}\right)</math> y alta dimensionalidad de <math display="inline">\boldsymbol{\theta}</math>. En la práctica, se usan cadenas de Markov Chain Monte Carlo (MCMC por sus siglas en inglés) para aproximar la distribución a posteriori <span id='citeF-28'></span>[[#cite-28|[28]]]. |
| − | + | Las cadenas de Markov se conforman de valores muestrales de la distribución a posteriori y se obtienen a partir del uso de algoritmos de muestreo, los más empleados son el muestreador de Gibbs, el algoritmo de muestreo Metropolis-Hastings y Hamiltoniano Monte Carlo (HMC). El proceso de muestrear la distribución a posteriori, es un proceso iterativo que continua hasta que la cadena de Markov converja. Es común que durante un período inicial los valores muestreados estén alejados del valor verdadero, por lo que se recomienda descartar este período inicial. A este período se le conoce como ''periodo de quemado''. | |
| − | Una vez obtenida la muestra de los parámetros de interés, para realizar inferencias se utiliza el estimador de Bayes <math display="inline">T^B</math>, definido como la solución de [[#eq-20|20]]. | + | ===4.5 Estimador de Bayes=== |
| + | Una vez obtenida la muestra de los parámetros de interés, para realizar inferencias se utiliza el estimador de Bayes <math display="inline">T^B</math>, definido como la solución de ([[#eq-20|20]]). | ||
<span id="eq-20"></span> | <span id="eq-20"></span> | ||
| Line 699: | Line 693: | ||
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | | style="text-align: center;" | <math>T^B=\ | + | | style="text-align: center;" | <math>T^B=\min_T E[L(T, \boldsymbol{\theta})]=\min_T[\int L(T, \boldsymbol{\theta}) f( \boldsymbol{\theta}) d \boldsymbol{\theta}], </math> |
|} | |} | ||
| − | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( | + | | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20) |
|} | |} | ||
| − | + | <math display="inline">L(T, \boldsymbol{\theta})=(T-\boldsymbol{\theta})^2</math> la función de pérdida cuadrática, se obtiene el mínimo en <math display="inline">T=E\left[ \boldsymbol{\theta} \right]</math>, es decir el estimador obtenido es el valor medio <math display="inline">T^B=E(\boldsymbol{\theta})</math>. | |
| − | |||
| − | ===4. | + | ===4.6 Intervalos creibles de alta densidad=== |
| + | Para la estimación por intervalo se utilizó el método de intervalos de alta densidad a posteriori (HPD, por sus siglas en inglés Highest Posterior Density). Un HPD conserva los valores más probables de la distribución a posteriori a un porcentaje deseado. Los HPD al <math display="inline">95\%</math> contienen los valores de <math display="inline">\boldsymbol{\theta}</math> tales que <math display="inline">p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})>W</math>, donde <math display="inline">W</math> satisface <math display="inline">\int_{p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})>W} \mathrm{~d} \boldsymbol{\theta} p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})=0,95</math> <span id='citeF-29'></span>[[#cite-29|[29]]]. Se prefieren los intervalos HPD sobre el método de percentiles debido a que los HPD son los intervalos de menor longitud entre todos los posibles intervalos de probabilidad para un nivel de credibilidad deseado. | ||
| − | + | ===4.7 Método Hamiltoniano de Monte Carlo=== | |
| − | = | + | El método de Hamiltoniano Monte Carlo (HMC) ha demostrado ser un muestreador más eficiente que el muestreador de Gibbs, y el algoritmo de muestreo Metropolis-Hastings. Su tasa de aceptación es aproximadamente el doble de la tasa de aceptación del algoritmo de Metropolis-Hastings <span id='citeF-30'></span>[[#cite-30|[30]]]. Esta técnica de muestreo se basa en la mecánica Hamiltoniana para explorar distribuciones de alta dimensionalidad. El estudio detallado de esta técnica avanzada está fuera del alcance de este trabajo; para una comprensión más profunda de HMC, se recomienda consultar el trabajo de Betancourt <span id='citeF-31'></span>[[#cite-31|[31]]]. |
| − | + | ===4.8 Convergencia de Cadenas=== | |
| − | * | + | * Método de inspección visual: Este método se basa en la observación empírica de las cadenas de Markov para verificar que sus trazas estén adecuadamente mezcladas. Es común que esta mezcla produzca visualmente una figura similar a una ''oruga''. |
| − | === | + | * Diagnóstico de Gelman-Rubin: Este diagnóstico es uno de los más populares para determinar la convergencia de las cadenas de Markov. Se basa en comparar la varianza dentro de las cadenas con la varianza entre cadenas utilizando el cociente <math display="inline">\hat{R}</math>, tambien conocido como Rhat debido al acento circunflejo de R. En la práctica, se considera que las cadenas convergen si <math display="inline">\hat{R} \leq 1.1</math>, mientras que si <math display="inline">\hat{R} > 1.1</math>, al menos una de las cadenas aún no ha convergido <span id='citeF-32'></span>[[#cite-32|[32]]]. |
| − | + | ===4.9 Número reproductivo básico=== | |
| + | El número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math> ([[#eq-12|12]]) del modelo ([[#eq-11|11]]) se estimará utilizando las distribuciones a posteriori de los parámetros, para lo cual se operan de forma ordenada los estados de las cadenas de Markov de los parámetros usando la ecuación ([[#eq-12|12]]), así como su propiedad de invarianza. Además, se evaluará la convergencia de la cadena <math display="inline">R_0</math>. | ||
| − | + | ===4.10 Software estadístico=== | |
| − | == | + | En este trabajo se utilizó el lenguaje de programación Julia <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]] con el paquete de análisis Bayesiano Turing.jl <span id='citeF-34'></span>[[#cite-34|[34]]] para estimar los parámetros. Se ejecutaron tres cadenas de Markov, cada una inicializada de manera aleatoria y con 20,000 iteraciones. Las primeras 1,000 iteraciones de cada cadena se descartaron como periodo de quemado, resultando en una muestra final de 19,000 valores por cadena. El diagnóstico de convergencia de Gelman-Rubin se realizó por defecto utilizando el paquete Turing. |
| − | + | Se utilizó la paquetería MCMChains.jl <span id='citeF-35'></span>[[#cite-35|[35]]] para estimar los intervalos de HPD al 95%. | |
| − | |||
| − | + | ==5 Resultados== | |
| − | + | ||
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| − | + | ||
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| − | + | ||
| − | + | De la muestra posterior de cada parámetro se obtienen los valores de media y mediana muestral, intervalos de HPD del 95% y <math display="inline">Rhat</math>. La estimación Bayesiana se resume en la Tabla [[#table-2|2]]. | |
| Line 815: | Line 801: | ||
| − | + | Las trazas de las cadenas de Markov de los parámetros del modelo ([[#eq-11|11]]) y del <math display="inline">R_0</math> ([[#eq-12|12]]) se muestran en la Tabla [[#table-3|3]] , las cuales se observan mezcladas y no presenta patrones ''extraños''. Más aún, en la Tabla 2 los valores de <math display="inline">\hat{R}</math> son menores a 1.1, por lo tanto las cadenas presentadas convergen. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
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| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | Las probabilidades de transmisión de vector a humano <math display="inline">\beta_h</math> y de humano a vector <math display="inline">\beta_v</math> tienen medias de 0.72 y 0.75 (medianas de 0.74 y 0.76), respectivamente, con intervalos de credibilidad del 95% de (0.46, 0.97) y (0.49, 0.98). Esto representa probabilidades altas de transmisión. Nuestras estimaciones son consistentes con lo publicado en <span id='citeF-22'></span><span id='citeF-24'></span><span id='citeF-25'>[[#cite-22|[22,24,25]]] que se muestran en la Tabla [[#table-1|1]]. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
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| − | + | ||
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| − | |||
| − | + | La media y mediana del número de picaduras <math display="inline">b</math> de los vectores son de 3.13 y 3.15, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.29, 4.00). La estimación de <math display="inline">b</math> es consistente con lo publicado en <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]], que se muestra en la Tabla [[#table-1|1]]. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
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| − | + | ||
| − | + | ||
| − | |[[ | + | |
| − | + | ||
| − | + | La media y la mediana de la tasa de muerte y nacimiento de vectores <math display="inline">\mu_v</math> son de 3.42 y 3.49 <math display="inline">\text{mes}^{-1}</math>, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.08, 4.44), lo que equivale a un periodo de vida de los vectores de 6.7 a 14.4 <math display="inline">\text{días}</math>. Esta estimación es consistente con el hecho de que el periodo de vida de un mosquito adulto puede ser de aproximadamente 8 a 28 días <span id='citeF-36'></span><span id='citeF-37'></span><span id='citeF-36'>[[#cite-22|[36,37]]]. Se estima una media del número total de vectores <math display="inline">N_v</math> de 19183, con un intervalo de credibilidad del 95% de (12589, 26358). | |
| − | + | ||
| − | + | ||
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| − | + | La tasa de recuperación <math display="inline">\gamma</math> tiene una media y mediana de 4.44 y 4.32, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.50, 6.63), lo que corresponde a un periodo de recuperación de 4.5 a 12 <math display="inline">\text{días}</math>. Esta estimación es consistente con lo publicado en <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]], que se muestra en la Tabla [[#table-1|1]]. La tasa de recaídas <math display="inline">\delta_h</math> muestra una media y mediana de 0.75 y 0.79 <math display="inline">\text{mes}^{-1}</math>, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (0.38, 1.00), lo que equivale a un periodo de recaída de 30 a 77.7 <math display="inline">\text{días}</math>. Nuestras estimaciones son consistentes con lo reportado en <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], que señala que las recaídas se presentan después de un mes de la primera infección. | |
| − | + | ||
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| − | [[ | + | |
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| − | + | ||
| − | + | La media y la mediana de la fracción de infectados que se vuelven asintomáticos <math display="inline">p</math> son 0.65 y 0.66, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% que varía entre una fracción baja de 0.41 y una alta de 0.84. La media y la mediana de la fracción de transmisión de humano asintomático a vector <math display="inline">\kappa</math> son de 0.24 y 0.21, con un intervalo de credibilidad del 95% de (0.01, 0.52), que va de una fracción casi nula a moderada. Esto podría sugerir que la fracción de transmisión de humanos asintomáticos a vectores no desempeña un papel relevante en la propagación de la enfermedad. | |
| − | + | ||
| − | + | En la Figura [[#figure-1|1]] se muestra el ajuste del modelo a la curva de humanos infectados con chikungunya, así como la simulación de las cuatro clases: hospederos susceptibles <math display="inline">S_h</math>, hospederos infectados <math display="inline">I_h</math>, hospederos asintomáticos <math display="inline">A_h</math> y vectores infectados <math display="inline">I_v</math>. Los puntos sólidos representan los datos obtenidos por <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] que se han suavizado por el modelo de suavizamiento exponencial con <math display="inline">\alpha=0.7</math>. | |
| − | + | ||
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| − | |||
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;" | {| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;" | ||
|- | |- | ||
| − | |[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385- | + | |[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-ajusteIh.png|540px|Modelo ajustado usando la media como estimador puntual.]] |
| − | | | + | |[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-ajusteSIAI.png|540px|]] |
| − | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385- | + | |- style="text-align: center; font-size: 75%;" |
| − | |- | + | | (1) Modelo ajustado usando la media como estimador puntual. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | | | + | |
| − | + | ||
|} | |} | ||
| − | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385- | + | |
| − | | | + | Finalmente, el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math> presentó una media de 2.61 y una mediana de 2.46, con un intervalo de credibilidad del 95% de (1.66, 3.80). En <span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]], se estima que el <math display="inline">R_0</math> es de 4.1, con un intervalo de confianza del 95% que va de 1.50 a 6.60 para los vectores ''Aedes aegypti''. Esto sugiere que el brote de chikungunya en Acapulco se propagó rápidamente. Nuestras estimaciones son consistentes con lo publicado en <span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]]. |
| − | + | ||
| + | {| class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;" | ||
| + | |+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-3'></span>Tabla. 3 Trazas y distribuciones a posteriori de los parámetros y el número reproductivo básico del modelo de chikungunya. | ||
| + | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| + | | colspan='1' | Parámetro | ||
| + | | colspan='1' | Trazas | ||
| + | | colspan='1' | Distribución a posteriori | ||
| + | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| + | | <math>\beta _h</math> | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenabetah.png|300px|cadenabetah.pdf]] | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitybetah.png|300px|densitybetah.pdf]] | ||
| + | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| + | | <math>\beta _v</math> | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenabetav.png|300px|cadenabetav.pdf]] | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitybetav.png|300px|densitybetav.pdf]] | ||
| + | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| + | | <math>b</math> | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenab.png|300px|cadenab.pdf]] | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityb.png|300px|densityb.pdf]] | ||
| + | |- style="border-top: 2px solid;" | ||
| + | | <math>\mu _v</math> | ||
| + | | [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenamuv.png|300px|cadenamuv.pdf]] | ||
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==6 Conclusiones== | ==6 Conclusiones== | ||
| − | En este trabajo, presentamos una revisión de modelos recientemente desarrollados para el virus del chikungunya. Uno de estos modelos incorpora dos estructuras de edad, mientras que el otro es un caso particular, independiente de la edad. Para este último modelo, se estimó el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math>del brote de chikungunya en Acapulco, con el que alcanzamos el objetivo planteado en este trabajo. | + | En este trabajo, presentamos una revisión de modelos recientemente desarrollados para el virus del chikungunya. Uno de estos modelos incorpora dos estructuras de edad, mientras que el otro es un caso particular, independiente de la edad. Para este último modelo, se estimó el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math> del brote de chikungunya en Acapulco, con el que alcanzamos el objetivo planteado en este trabajo. |
| − | El valor estimado de <math display="inline">R_0</math>mostró la capacidad del virus para expandirse rápidamente, lo cual fue consistente con estudios previos que indicaron una rápida expansión del chikungunya. La fracción de transmisión de humanos asintomáticos a vectores varió de baja a moderada, lo que podría haber sugerido que esta fracción no desempeñó un papel relevante en la propagación de la enfermedad. La estimación de los parámetros del brote en Acapulco sugirió que la transmisión del virus fue alta tanto de vectores a humanos como de humanos a vectores, lo que indicó un alto riesgo de propagación. El elevado número de picaduras contribuyó a la propagación continua del virus. | + | El valor estimado de <math display="inline">R_0</math> mostró la capacidad del virus para expandirse rápidamente, lo cual fue consistente con estudios previos que indicaron una rápida expansión del chikungunya. La fracción de transmisión de humanos asintomáticos a vectores varió de baja a moderada, lo que podría haber sugerido que esta fracción no desempeñó un papel relevante en la propagación de la enfermedad. La estimación de los parámetros del brote en Acapulco sugirió que la transmisión del virus fue alta tanto de vectores a humanos como de humanos a vectores, lo que indicó un alto riesgo de propagación. El elevado número de picaduras contribuyó a la propagación continua del virus. |
Estos resultados subrayan la importancia de implementar medidas de control y prevención contra las picaduras de mosquitos. Para ello, se recomienda eliminar las aguas estancadas, realizar fumigaciones y utilizar mosquiteros en zonas residenciales. De este modo, se puede evitar la reproducción de estos mosquitos, el contagio de la enfermedad y la propagación del virus. | Estos resultados subrayan la importancia de implementar medidas de control y prevención contra las picaduras de mosquitos. Para ello, se recomienda eliminar las aguas estancadas, realizar fumigaciones y utilizar mosquiteros en zonas residenciales. De este modo, se puede evitar la reproducción de estos mosquitos, el contagio de la enfermedad y la propagación del virus. | ||
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| − | '''[[#citeF-15|[15]]]''' Korobeinikov, | + | '''[[#citeF-15|[15]]]''' Korobeinikov, Andrei. (2004) "Global properties of basic virus dynamics models", Volume 66. Bulletin of Mathematical Biology 4 879–883 |
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| − | '''[[#citeF-16|[16]]]''' Vargas-De-León, | + | '''[[#citeF-16|[16]]]''' Vargas-De-León, Cruz. and Castro-Hernández, J. A. (2008) "Local and global stability of host-vector disease models", Volume 25. Foro-Red-Mat: Revista Electrónica de Contenido Matemático 1–9 |
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| − | '''[[#citeF-17|[17]]]''' Vargas-De-León, | + | '''[[#citeF-17|[17]]]''' Vargas-De-León, Cruz. (2012) "Global analysis of a delayed vector-bias model for malaria transmission with incubation period in mosquitoes", Volume 9. Mathematical Biosciences and Engineering 1 165–174 |
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Latest revision as of 17:51, 19 November 2024
1 Introducción
La fiebre chikungunya es una enfermedad viral transmitida a los humanos por mosquitos del género Aedes [1]. El virus, que da nombre a la enfermedad, se describió en humanos por primera vez en 1952 en Tanzania, África, donde entre el 60% y el 80% de la población presentó síntomas de artralgia, fiebre y erupciones cutáneas. Muchas personas, tras el periodo agudo de la enfermedad, continuaron experimentando dolores articulares durante meses [2].
Entre 1960 y 1990, hubo brotes de fiebre chikungunya en varios países africanos, como República Democrática del Congo, Uganda, Angola, Sudáfrica y Nigeria [3]. En América, el primer caso se reportó en la isla de San Martín ubicada en el Caribe} en 2013, y para diciembre de 2014, la enfermedad se había extendido a 17 países sudamericanos. Actualmente, se ha identificado en 45 países en el Caribe, América del Norte, América del Sur y América Central [3].
En México, el primer caso importado de fiebre chikungunya se presentó en mayo de 2014 [4]. A finales de ese año, se reportaron 155 casos en los estados de Chiapas, Guerrero, Oaxaca, Sonora y Sinaloa. Para la semana epidemiológica 40, en 2015 se habían contabilizado 8,668 casos confirmados, siendo Guerrero el estado con la mayor cantidad de infectados, con el 18.38% [5]. Al final de ese año, se confirmaron un total de 12,588 casos de chikungunya en México [6].
Cuando una persona es picada por un mosquito infectado, los síntomas suelen comenzar entre 3 y 7 días después del período de incubación. Durante este tiempo, el virus se multiplica en el organismo del infectado, pero la persona no presenta síntomas ni es contagiosa para otros. Los síntomas incluyen dolor intenso en las articulaciones, fiebre superior a 39°C, dolor muscular y, ocasionalmente, náuseas, vómitos y erupciones cutáneas. El dolor articular puede ser tan intenso que resulta debilitante o incapacitante [2]. Tras una semana, la mayoría de los pacientes experimenta una notable mejora: la fiebre, el cansancio y la artralgia disminuyen significativamente en 1 o 2 semanas, aunque frecuentemente se produce una recaída [7]. Actualmente, no existe un tratamiento específico para la infección por chikungunya; el manejo se limita a aliviar los síntomas con medicación analgésica y antiinflamatoria [2].
Se ha reportado el fenómeno de recaída en las infecciones por chikungunya [8,9,10]. La recaída se define como la reaparición de artralgia debido a la persistencia del virus en las células del tejido musculoesquelético después de un período sin síntomas de al menos una semana [8] o después de un mes [10]. En un estudio de cohortes realizado en Francia, basado en datos de un sistema de vigilancia de laboratorio, se confirmó la infección inicial mediante una prueba de anticuerpos o PCR (reacción en cadena de la polimerasa). En ese estudio, se reportaron recaídas de artralgia en el 72% de los pacientes; el número promedio de recaídas fue de 4 y el tiempo promedio entre dos recaídas fue de 8 semanas [8]. Por otro lado, un estudio transversal realizado en Acapulco, Guerrero, en diciembre de 2015, encontró que el 66% de la población (3,531 de 5,870 personas) autoreportó haber estado infectada. De los cuales, el 31.1% (1,098 de 3,531) experimentó al menos una recaída un mes después de recuperarse. Entre ellos, el 13% informó una recaída, el 12% tuvo dos, el 4% tres y solo el 2% reportó más de cuatro recaídas [10].
La edad como factor de riesgo es común en las enfermedades infecciosas transmitidas por vectores. En el caso del chikungunya, un estudio de seropositividad reportó la frecuencia de positivos al virus en los siguientes grupos etarios: 33% en el grupo de 0 a 19 años, 62% en el de 20 a 39 años, 67.4% en el de 40 a 49 años, 75% en el de 50 a 59 años, 59% en el de 60 a 69 años, 25% en el de 70 a 79 años y 33% en el de 80 años y más [11], lo que muestra una variabilidad en la susceptibilidad al virus.
La variabilidad en el período de recaídas y en la susceptibilidad al virus del chikungunya motivó a Vázquez-Peña, Vargas-De-León y Velázquez-Castro [12] a desarrollar un modelo hospedero-vector que considera tanto la edad cronológica como la edad de la infección asintomática. Este modelo se presentará en la Sección 2.
A partir de este modelo hospedero-vector con dos estructuras de edad, obtendremos un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para el virus del chikungunya, tal como fue propuesto por Vázquez-Peña et al. [13], el cual se discutirá en la Sección 3.
En este trabajo, se propone estimar los parámetros y el número reproductivo básico utilizando un enfoque Bayesiano con los datos del brote de chikungunya en Acapulco, Guerrero [10]. Para ello, emplearemos el modelo hospedero-vector presentado en la Sección 3. La metodología del enfoque Bayesiano se describirá en la Sección 4, mientras que la estimación Bayesiana de los parámetros y del número reproductivo básico (12) se presentará en la Sección 5. Finalmente, en la Sección 6, se realizarán algunas comentarios finales.
2 Modelo hospedero-vector con dos estructura de edades
Denotamos por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_h}
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_v}
el número total de hospederos y vectores, respectivamente. Las poblaciones de hospederos y vectores se dividen en clases disjuntas según su estado epidemiológico. Para los hospederos, consideramos cuatro grupos: susceptibles (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle S_h(t, \tau)}
), infectados (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_h(t, \tau)} ), asintomáticos (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle A_h(t, \omega)} ) y recuperados (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_h(t, \tau)} ). En contraste, los vectores se dividen únicamente en susceptibles (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle S_v(t)} ) e infectados (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_v(t)} ).
La edad cronológica se denota por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \tau } , de manera que Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle s_h(t, \tau )}
representa la cantidad de hospederos susceptibles con edad cronológica Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \tau }
en el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t}
. Entonces, el total de hospederos susceptibles está dado por
|
(1) |
Suponemos que la probabilidad de transmisión del vector al hospedero depende de la edad del hospedero, lo cual se denota por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta _h(\tau )} .
La tasa de transmisión del vector infectado al hospedero susceptible está definida por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \frac{b}{N_h} \beta _h(\tau ) s_h(t, \tau ) I_v(t)}
, donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle b}
es el promedio de picaduras por unidad de tiempo y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \frac{b}{N_h}}
representa el número promedio de picaduras por unidad de tiempo por cada hospedero. Esto significa que se está distribuyendo el número total de picaduras entre el total de hospederos. Al mismo tiempo, la clase de hospederos susceptibles disminuye debido a la muerte natural a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu_h}
y a alguna estrategia de prevención, como la vacunación, enfocada únicamente a ciertos grupos de edad, la cual será modelada por el parámetro Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \rho (\tau )}
. Por lo tanto, definimos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \varepsilon (\tau ) = \mu _h + \rho (\tau )} .
Bajo estas hipótesis, se formula la primera ecuación del modelo:
|
Suponemos que todos los individuos nacen susceptibles a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu _{h} N_{h}} , de manera que obtenemos la condición de frontera:
|
Una vez que un hospedero se ha infectado, permanece en dicha clase hasta que los síntomas desaparecen a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \gamma}
o por muerte por causas naturales a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu _h}
. Consideramos que una fracción Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle p}
no se recuperará y pasará a la fase asintomática durante un tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \omega}
, que representa la edad de la infección asintomática. La clase de hospederos asintomáticos se representa por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle a_h(t, \omega)} , donde
|
(2) |
es el total de hospederos asintomáticos. Además, la tasa en que los síntomas de la enfermedad vuelven a manifestarse depende de la edad de la infección asintomática; por ende, los hospederos asintomáticos retornan a la clase de hospederos infectados en un tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle 1/\delta_h(\omega)} . Con esto, se propone la segunda ecuación del modelo.
|
La clase de hospederos asintomáticos se reduce cuando los síntomas vuelven a manifestarse o por muerte por causas naturales, lo que da lugar a la siguiente ecuación del modelo:
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Los hospederos infectados entran en la clase asintomática a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle p\gamma } , comenzando el conteo de la edad de la infección asintomática, lo que se traduce en la condición de frontera
|
Los hospederos infectados se recuperan de manera permanente a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle (1-p)\gamma }
y permanecen en esa clase hasta la muerte por causas naturales a una tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu _h}
, lo que se representa en la cuarta ecuación diferencial del modelo
|
En cuanto a los vectores, suponemos que nacen y mueren a la misma tasa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu _v} . Un vector nace susceptible y se infecta al picar a una persona con el virus, ya sea un hospedador infectado o un hospedador asintomático. De manera análoga al caso de los hospedadores, la tasa de transmisión Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \frac{\beta _{v}b}{N_{h}}S_{v}(t)I_{h}(t)}
depende de la probabilidad de que el contacto entre un hospedador infectado y un vector susceptible sea efectivo. Esta probabilidad se modela con el producto de la probabilidad de transmisión del virus Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta _v}
y el número promedio de picaduras por unidad de tiempo por cada hospedero Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \frac{b}{N_h}}
. Adicionalmente, se introduce el parámetro Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \kappa}
para tener en cuenta que la probabilidad de transmisión de un hospedero infectado a un vector es mayor que la tasa de transmisión de un hospedero asintomático a un vector. Por lo tanto, se considera que Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle 0 \leq \kappa \leq 1}
. Bajo estas suposiciones, obtenemos la quinta ecuación del modelo:
|
Después de que el vector se infecta de la forma descrita, permanece en esa clase hasta morir, lo que se modela en la última ecuación del modelo:
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Por lo que se obtiene el siguiente sistema integro-diferencial recientemente propuesto por Vázquez-Peña, Vargas-De-León y Velázquez-Castro para el virus de chikungunya [12].
|
(3) |
Si consideramos que el tamaño de la población de vectores se mantiene constante en el tiempo, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_v = S_v(t) + I_v(t)} , y observamos que la variable Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R(t)}
no esta acoplada en las demás ecuaciones, el modelo se reduce a
|
(4) |
Las condiciones iniciales están dadas por
|
Donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle s_{h0}(\tau )}
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle a_{h0}(\omega )}
representan la distribución inicial de los huéspedes susceptibles y de los hospederos asintomáticos con edad cronológica y edad de infección asintomática, respectivamente. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_{h0}}
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_{v0}}
son el número inicial de hospederos y de vectores infectados, respectivamente.
2.1 Propiedades del sistema
El número reproductivo básico para el modelo (4) fue obtenido en [12]
|
(5) |
donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle D}
está dada por
|
(6) |
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \eta }
por
|
(7) |
El punto de equilibrio libre de la enfermedad Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^0}
del sistema integro-diferencial (4) se obtiene al considerar Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_h(t)}
, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle a_h(t,\omega)}
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_v(t)}
iguales a cero simultáneamente, lo que resulta en Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^0 = (s_h^0(\tau), 0, 0, 0)}
, donde
|
(8) |
En [12], se utiliza una estrategia geométrica para demostrar la existencia del punto de equilibrio endémico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^*=(s_h^*(\tau ), I_h^*, a_h^*(\omega ), I_m^*)}
cuando Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0(\tau ,\omega ) >1}
.
Las propiedades de las soluciones a tiempos largos se resumen en el siguiente teorema:
Teorema 1: (Ver [12])
i) Si Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0(\tau ,\omega )\leq{1}} , el punto de equilibrio libre de la enfermedad Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^0}
del sistema integro-diferencial (4) es global asintóticamente estable.
ii) Si Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0(\tau ,\omega )>1} , existe un único punto de equilibrio endémico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^*}
del sistema (4) y es global asintóticamente estable.
El ítem i) del Teorema 1 se demostró utilizando el segundo método de Lyapunov. Se construyó el siguiente funcional de Lyapunov Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle W(t)}
, que es una combinación de una funcional tipo Volterra Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle f(x) = x - 1 - \ln{x}}
y funcionales lineales
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donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle g_0 (w)}
es la siguiente función auxiliar:
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(9) |
para todo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle w\geq{0}} .
El ítem ii) del Teorema 1 se demostró usando una funcional de Lyapunov Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle L(t)} , que es una combinación de funcionales tipo Volterra Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle f(x) = x - 1 - \ln{x}} , definida por
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donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle g_{e}(w)}
es la siguiente función auxiliar:
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para todo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle w\geq{0}} .
La estrategia de construcción de funcionales de Lyapunov tipo Volterra ha sido ampliamente utilizada en epidemiología matemática [14,15,16,17,18,19,20].
3 Modelo hospedero-vector independientemente de las edades
Usando las siguientes tranformaciones (1) y (2) donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle S_h(t)}
es el total de hospederos susceptibles de cualquier edad cronológica y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle A_h(t)}
es el total de hospederos asintomáticos con cualquier edad de la infección asintomática. Además, para simplificar la complejidad del modelo, proponemos que las funciones dependientes de la edad se definan como constantes: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta_h(\omega)=\delta_h}
, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta_h(\tau)=\beta_h} , y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \varepsilon_h(\tau)=\mu_h} . Al integrar la primera ecuación del sistema (3) con respecto de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \tau}
y la cuarta ecuación de (3) con respecto de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \omega} utilizando las respectivas condiciones de frontera, el sistema integro-diferencial (3) se reduce a un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para el virus de chikungunya que ha sido estudiado por Vázquez-Peña et al. [13].
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(10) |
Considerando ambas poblaciones constantes Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_h = S_h + I_h + A_h + R_h}
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_v = S_v + I_v}
el sistema se reduce a
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(11) |
Las condiciones iniciales del sistema (11) están dadas por
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Donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_{h0}}
e Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_{v0}}
no son cero simultáneamente.
La región factible de las soluciones del modelo (11) es
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3.1 Número reproductivo básico
Para calcular el número reproductivo básico, Vázquez-Peña et al. [13] utilizaron el método de la matriz de la siguiente generación [21]. Separaron las ecuaciones en Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{F}}} , que contiene los términos asociados a nuevas infecciones, y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{V}}} , que incluye los términos de transiciones individuales en cada clase, es decir,
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y
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Tras calcular las matrices Jacobianas de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{F}}}
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{V}}}
y evaluarlas en el punto de equilibrio libre de la enfermedad Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^0 = (N_h,0,0,0)}
se obtienen, respectivamente, una matriz no negativa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{F}}}
y una Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle M}
-matriz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{V}}} .
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Entonces, el número reproductivo básico está dado por el radio espectral de la matriz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\mathcal{F}}\boldsymbol{\mathcal{V}}^{-1}} , es decir
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(12) |
donde
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(13) |
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
denota el número promedio de casos secundarios que produce un individuo infectado al introducirlo a una población totalmente susceptible. Esto se puede entender de la siguiente manera: un mosquito infectado distribuye picaduras en la población humana durante el resto de su vida, y una proporción Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \frac{\beta_h b N_v}{\mu_v N_h} }
de estas picaduras se convierte en nuevas infecciones. Por otro lado, el número de nuevas infecciones en los mosquitos por parte de hospederos infectados y asintomáticos durante el periodo infeccioso está dado por Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta_v b\frac{\kappa p \gamma + \mu_h + \delta_h}{(\mu_h + \gamma)(\mu_h + \delta_h) - \delta_h p \gamma}}
, respectivamente. La media geométrica de estas dos cantidades, que es igual a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0} , proporciona el número promedio de infecciones secundarias. En el contexto de enfermedades transmitidas por vectores, como el chikungunya, un Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0 > 1}
sugiere que la enfermedad se propagará en la población, mientras que un Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0 < 1}
indica que la enfermedad eventualmente se extinguirá.
3.2 Puntos de equilibrio y su estabilidad global
Además del punto de equilibrio libre de la enfermedad Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^0} , el modelo (11) tiene un punto de equilibrio endémico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^*=(S_h^*, I_h^*, A_h^*, I_v^*)} , con
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(14) |
Dado que el sistema (11) es un caso particular del sistema integro-diferencial (4), obtenemos el siguiente corolario derivado del Teorema 1.
Corolario 1: i) Cuando Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0\leq1}
entonces el punto de equilibrio libre de la enfermedad Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E_0}
del sistema (11) es global asintóticamente estable.
ii) Cuando Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0>1}
entonces el punto de equilibrio endémico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle E^*}
del sistema (11) es global asintóticamente estable.
4 Estimación Bayesiana
4.1 Brote de chikungunya en Acapulco
En 2015, Acapulco, Guerrero, experimentó un brote de chikungunya. En [10] se realizó un estudio transversal para caracterizar dicho brote epidémico, que incluyó encuestas en 1,305 viviendas distribuidas en ocho conglomerados urbanos considerados representativos de Acapulco. En total, se administraron 5,870 cuestionarios, identificando 3,531 casos de chikungunya entre enero y diciembre de 2015. Para asegurar la representatividad en el estudio [10], se realizó un muestreo intencional que buscaba reflejar las condiciones urbanas promedio de Acapulco, lo cual es clave en contextos donde no se puede utilizar un muestreo probabilístico.
Para reducir el impacto de las fluctuaciones aleatorias o ruido en los datos reportados de los casos de chikungunya [10], se aplica el método de suavizamiento exponencial:
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donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle F_{t+1}}
es el pronóstico de casos de chikungunya para el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t+1}
de la serie de tiempo, donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle Y_{t}}
representa el valor observado de casos de chikungunya en el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t}
, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle F_{t}}
es el pronóstico de casos de chikungunya para el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t}
, y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \alpha}
es la constante de suavizamiento (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle 0 < \alpha < 1}
). Se supone que el pronóstico inicial Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle F_0}
de casos de chikungunya es igual al primer valor observado Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle Y_0}
. Con el suavizado, logramos obtener valores con menor variabilidad, lo que permite observar mejor la evolución de la serie temporal. La estimación Bayesiana se realizará con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle F_{t+1}} .
Utilizando los datos recabados por [10] sobre los casos mensuales autoinformados de chikungunya y el método de suavizamiento exponencial con un valor de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \alpha = 0.7} , se ajustará la curva de los humanos infectados Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_h}
para estimar de manera puntual y por intervalo los parámetros y el número reproductivo básico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
(12) del modelo (11).
4.2 Modelo estadístico
Para Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{y}=(y(t_1)} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle y(t_2),\dots, y (t_n) )}
el vector de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle n}
observaciones del número de humanos infectados (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_h (t)}
) en el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t} , considere el siguiente modelo estadístico:
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(15) |
donde:
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle y(t_i)}
es el número de humanos infectados (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_h (t)}
) en el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t_i} .
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\theta}}
es vector de parámetros en la estimación Bayesiana.
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta}))}
es la solución numérica del modelo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mathcal{M}}
(11) con el método Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle G}
. En este caso se usó el método numérico de Runge-Kutta de orden 4.
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \varepsilon(t_i)}
es el error aleatorio en el tiempo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle t_i}
, los errores son independientes para cada tiempo, normalmente distribuidos con media cero y varianza Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \sigma^2} .
4.3 Función de verosimilitud
Considerando el supuesto de normalidad para el error aleatorio Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \varepsilon(t_i) \sim N(0, \sigma^2)} , entonces se tiene que Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle y(t_i) \sim N\left(G(\mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta})), \sigma^2\right)} . Por tal razón, la función de verosimilitud está dada por la ecuación (16):
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(16) |
4.4 Distribución a priori y a posteriori
La estadística Bayesiana permite al investigador incorporar conocimiento de los parámetros al proceso de inferencia. Esta información se especifica por medio de una distribución a priori (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\boldsymbol{\theta})} ) y puede restringir la inferencia a un rango de interés y asignar mayor probabilidad a un subconjunto de valores. Esto permite enfocarse en los rangos plausibles según el conocimiento de la literatura o la definición del parámetro en el modelo matemático. Por ejemplo, la probabilidad de transmisión de vector a humano está definida en el intervalo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle [0, 1]} . Dado que se trata de una probabilidad, es conveniente utilizar o definir distribuciones a priori con soporte en este mismo intervalo, como la distribución uniforme Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle U(0, 1)}
o la distribución Beta Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle Beta(\alpha, \beta)}
, entre otras. Para proponer la distribución a priori de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\theta}}
se consultaron en la literatura los valores que se han reportado y se muestran en la Tabla 1.
| Parámetro | Descripción | Referencia | Valor medio o rango de valores | Distribución a priori |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \beta _h | Probabilidad de transmisión de vector a humano | [22] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.99 [0.6,1] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): Beta(5,2) |
| [23] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.37 | |||
| [24] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): [0.5, 0.8] | |||
| [25] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.67 [0.26, 1] | |||
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \beta _v | Probabilidad de transmisión de humano a vector | [22] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.6 [0.6,1] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): Beta(5,2) |
| [23] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.375 | |||
| [24] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.37 | |||
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): b | Número de picaduras | [22] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 2.46 [1,3] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): U(0,4) |
| [23] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 1 | |||
| [24] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.5
or Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 1
| |||
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \mu _v | Tasa de muerte y nacimiento de vectores Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): [\hbox{mes}^{-1}] | [23] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 2.72 | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): U(2,4.5) |
| [24] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 4.28 | |||
| [26] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 2.14 | |||
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \gamma | Tasa de recuperación Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): [\hbox{mes}^{-1}] | [22] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): [3.7,4.5] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): U(2.5,7.5) |
| [26] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): [2,6] | |||
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle p} | Fracción de infectados que se vuelven asintomáticos | Supuesto | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): U(0,1) | |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta _h | Tasa de recaída Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): [\hbox{mes}^{-1}] | [8] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.5 | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): U(0,1) |
| [10] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 0.66 | |||
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \kappa } | Fracción de transmisión de humano asintomático a vector | Supuesto | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): Beta(2,5) | |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_v} | Número total de vectores | Supuesto | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 2
a Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 4.5
veces el número total de humanos
|
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): U(11740, 26415) |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu _h} | Tasa de muerte y nacimiento de humanos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle [\hbox{mes}^{-1}]} | [27] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \frac{1}{75\times{12}}\approx{0.0011} | Valor fijo |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_h} | Número total de humanos | [10] | Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): 5870 | Valor fijo |
, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \alpha}
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta}
son parámetros de forma, mientras que en las distribuciones uniformes Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle U(a,b)}
, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle a}
y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle b}
son los valores mínimo y máximo.
La inferencia Bayesiana se basa en la distribución a posteriori, por el teorema de Bayes la distribución a posteriori esta definida por (17):
|
(17) |
donde
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y})}
es la distribución a posteriori de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\theta}}
dada un conjunto de observaciones Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle Y}
.
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{\theta})}
es la distribución de las observaciones Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{Y}}
para un valor específico del vector Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\theta}}
.
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\boldsymbol{\theta})}
distribución a priori.
- Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\boldsymbol{y})}
es una constante de normalización Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \int_p P(\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{\theta}) P(\boldsymbol{\theta}) d \boldsymbol{\theta} }
.
Note que la expresión (17) está bien definida si Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\mathbf{y} )\neq0} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P(\mathbf{y})}
es constante, por tanto podemos reescribir (17) como (18):
|
(18) |
En la inferencia Bayesiana es necesario obtener integrales que involucran la distribución a posteriori. Un ejemplo es la media de la distribución a posteriori.
|
(19) |
Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, la integral de la marginalización (19) no puede resolverse de forma analítica debido a la complejidad de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle P\left( \boldsymbol{\theta} \mid \boldsymbol{y}\right)}
y alta dimensionalidad de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\theta}}
. En la práctica, se usan cadenas de Markov Chain Monte Carlo (MCMC por sus siglas en inglés) para aproximar la distribución a posteriori [28].
Las cadenas de Markov se conforman de valores muestrales de la distribución a posteriori y se obtienen a partir del uso de algoritmos de muestreo, los más empleados son el muestreador de Gibbs, el algoritmo de muestreo Metropolis-Hastings y Hamiltoniano Monte Carlo (HMC). El proceso de muestrear la distribución a posteriori, es un proceso iterativo que continua hasta que la cadena de Markov converja. Es común que durante un período inicial los valores muestreados estén alejados del valor verdadero, por lo que se recomienda descartar este período inicial. A este período se le conoce como periodo de quemado.
4.5 Estimador de Bayes
Una vez obtenida la muestra de los parámetros de interés, para realizar inferencias se utiliza el estimador de Bayes Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle T^B} , definido como la solución de (20).
|
(20) |
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle L(T, \boldsymbol{\theta})=(T-\boldsymbol{\theta})^2}
la función de pérdida cuadrática, se obtiene el mínimo en Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle T=E\left[ \boldsymbol{\theta} \right]}
, es decir el estimador obtenido es el valor medio Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle T^B=E(\boldsymbol{\theta})} .
4.6 Intervalos creibles de alta densidad
Para la estimación por intervalo se utilizó el método de intervalos de alta densidad a posteriori (HPD, por sus siglas en inglés Highest Posterior Density). Un HPD conserva los valores más probables de la distribución a posteriori a un porcentaje deseado. Los HPD al Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle 95\%}
contienen los valores de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \boldsymbol{\theta}}
tales que Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})>W}
, donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle W}
satisface Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \int_{p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})>W} \mathrm{~d} \boldsymbol{\theta} p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{y})=0,95}
[29]. Se prefieren los intervalos HPD sobre el método de percentiles debido a que los HPD son los intervalos de menor longitud entre todos los posibles intervalos de probabilidad para un nivel de credibilidad deseado.
4.7 Método Hamiltoniano de Monte Carlo
El método de Hamiltoniano Monte Carlo (HMC) ha demostrado ser un muestreador más eficiente que el muestreador de Gibbs, y el algoritmo de muestreo Metropolis-Hastings. Su tasa de aceptación es aproximadamente el doble de la tasa de aceptación del algoritmo de Metropolis-Hastings [30]. Esta técnica de muestreo se basa en la mecánica Hamiltoniana para explorar distribuciones de alta dimensionalidad. El estudio detallado de esta técnica avanzada está fuera del alcance de este trabajo; para una comprensión más profunda de HMC, se recomienda consultar el trabajo de Betancourt [31].
4.8 Convergencia de Cadenas
- Método de inspección visual: Este método se basa en la observación empírica de las cadenas de Markov para verificar que sus trazas estén adecuadamente mezcladas. Es común que esta mezcla produzca visualmente una figura similar a una oruga.
- Diagnóstico de Gelman-Rubin: Este diagnóstico es uno de los más populares para determinar la convergencia de las cadenas de Markov. Se basa en comparar la varianza dentro de las cadenas con la varianza entre cadenas utilizando el cociente Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \hat{R}}
, tambien conocido como Rhat debido al acento circunflejo de R. En la práctica, se considera que las cadenas convergen si Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \hat{R} \leq 1.1} , mientras que si Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \hat{R} > 1.1} , al menos una de las cadenas aún no ha convergido [32].
4.9 Número reproductivo básico
El número reproductivo básico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
(12) del modelo (11) se estimará utilizando las distribuciones a posteriori de los parámetros, para lo cual se operan de forma ordenada los estados de las cadenas de Markov de los parámetros usando la ecuación (12), así como su propiedad de invarianza. Además, se evaluará la convergencia de la cadena Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
.
4.10 Software estadístico
En este trabajo se utilizó el lenguaje de programación Julia [33] con el paquete de análisis Bayesiano Turing.jl [34] para estimar los parámetros. Se ejecutaron tres cadenas de Markov, cada una inicializada de manera aleatoria y con 20,000 iteraciones. Las primeras 1,000 iteraciones de cada cadena se descartaron como periodo de quemado, resultando en una muestra final de 19,000 valores por cadena. El diagnóstico de convergencia de Gelman-Rubin se realizó por defecto utilizando el paquete Turing.
Se utilizó la paquetería MCMChains.jl [35] para estimar los intervalos de HPD al 95%.
5 Resultados
De la muestra posterior de cada parámetro se obtienen los valores de media y mediana muestral, intervalos de HPD del 95% y Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle Rhat} . La estimación Bayesiana se resume en la Tabla 2.
| Parámetro | Media | Mediana | Intervalos de HPD del 95% | Rhat |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta _h} | 0.72 | 0.74 | (0.46, 0.97) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \beta _v | 0.75 | 0.76 | (0.49, 0.98) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): b | 3.13 | 3.15 | (2.29, 4.00) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \mu _v
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle [\hbox{mes}^{-1}]} |
3.42 | 3.49 | (2.08, 4.44) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \gamma
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle [\hbox{mes}^{-1}]} |
4.44 | 4.32 | (2.50, 6.63) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): p | 0.65 | 0.66 | (0.41, 0.84) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta _h
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle [\hbox{mes}^{-1}]} |
0.75 | 0.79 | (0.38, 1.00) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \kappa | 0.24 | 0.21 | (0.01, 0.52) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): N_v | 19183 | 19179 | (12589, 26358) | 1.00 |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): R_0 | 2.61 | 2.46 | (1.66, 3.80) | 1.00 |
Las trazas de las cadenas de Markov de los parámetros del modelo (11) y del Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
(12) se muestran en la Tabla 3 , las cuales se observan mezcladas y no presenta patrones extraños. Más aún, en la Tabla 2 los valores de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \hat{R}} son menores a 1.1, por lo tanto las cadenas presentadas convergen.
Las probabilidades de transmisión de vector a humano Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta_h}
y de humano a vector Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \beta_v}
tienen medias de 0.72 y 0.75 (medianas de 0.74 y 0.76), respectivamente, con intervalos de credibilidad del 95% de (0.46, 0.97) y (0.49, 0.98). Esto representa probabilidades altas de transmisión. Nuestras estimaciones son consistentes con lo publicado en [22,24,25] que se muestran en la Tabla 1.
La media y mediana del número de picaduras Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle b}
de los vectores son de 3.13 y 3.15, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.29, 4.00). La estimación de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle b}
es consistente con lo publicado en [22], que se muestra en la Tabla 1.
La media y la mediana de la tasa de muerte y nacimiento de vectores Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \mu_v}
son de 3.42 y 3.49 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \text{mes}^{-1}}
, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.08, 4.44), lo que equivale a un periodo de vida de los vectores de 6.7 a 14.4 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \text{días}} . Esta estimación es consistente con el hecho de que el periodo de vida de un mosquito adulto puede ser de aproximadamente 8 a 28 días [36,37]. Se estima una media del número total de vectores Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle N_v}
de 19183, con un intervalo de credibilidad del 95% de (12589, 26358).
La tasa de recuperación Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \gamma}
tiene una media y mediana de 4.44 y 4.32, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.50, 6.63), lo que corresponde a un periodo de recuperación de 4.5 a 12 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \text{días}}
. Esta estimación es consistente con lo publicado en [22], que se muestra en la Tabla 1. La tasa de recaídas Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \delta_h}
muestra una media y mediana de 0.75 y 0.79 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \text{mes}^{-1}}
, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% de (0.38, 1.00), lo que equivale a un periodo de recaída de 30 a 77.7 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \text{días}} . Nuestras estimaciones son consistentes con lo reportado en [10], que señala que las recaídas se presentan después de un mes de la primera infección.
La media y la mediana de la fracción de infectados que se vuelven asintomáticos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle p}
son 0.65 y 0.66, respectivamente, con un intervalo de credibilidad del 95% que varía entre una fracción baja de 0.41 y una alta de 0.84. La media y la mediana de la fracción de transmisión de humano asintomático a vector Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \kappa}
son de 0.24 y 0.21, con un intervalo de credibilidad del 95% de (0.01, 0.52), que va de una fracción casi nula a moderada. Esto podría sugerir que la fracción de transmisión de humanos asintomáticos a vectores no desempeña un papel relevante en la propagación de la enfermedad.
En la Figura 1 se muestra el ajuste del modelo a la curva de humanos infectados con chikungunya, así como la simulación de las cuatro clases: hospederos susceptibles Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle S_h} , hospederos infectados Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_h} , hospederos asintomáticos Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle A_h}
y vectores infectados Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle I_v}
. Los puntos sólidos representan los datos obtenidos por [10] que se han suavizado por el modelo de suavizamiento exponencial con Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle \alpha=0.7} .
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| (1) Modelo ajustado usando la media como estimador puntual. |
Finalmente, el número reproductivo básico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
presentó una media de 2.61 y una mediana de 2.46, con un intervalo de credibilidad del 95% de (1.66, 3.80). En [38], se estima que el Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0} es de 4.1, con un intervalo de confianza del 95% que va de 1.50 a 6.60 para los vectores Aedes aegypti. Esto sugiere que el brote de chikungunya en Acapulco se propagó rápidamente. Nuestras estimaciones son consistentes con lo publicado en [38].
| Parámetro | Trazas | Distribución a posteriori |
| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \beta _h | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \beta _v | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): b | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \mu _v | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \gamma | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): p | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \delta _h | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \kappa | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): N_v | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): R_0 | 
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| Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): \sigma^2 | 
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6 Conclusiones
En este trabajo, presentamos una revisión de modelos recientemente desarrollados para el virus del chikungunya. Uno de estos modelos incorpora dos estructuras de edad, mientras que el otro es un caso particular, independiente de la edad. Para este último modelo, se estimó el número reproductivo básico Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
del brote de chikungunya en Acapulco, con el que alcanzamos el objetivo planteado en este trabajo.
El valor estimado de Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle R_0}
mostró la capacidad del virus para expandirse rápidamente, lo cual fue consistente con estudios previos que indicaron una rápida expansión del chikungunya. La fracción de transmisión de humanos asintomáticos a vectores varió de baja a moderada, lo que podría haber sugerido que esta fracción no desempeñó un papel relevante en la propagación de la enfermedad. La estimación de los parámetros del brote en Acapulco sugirió que la transmisión del virus fue alta tanto de vectores a humanos como de humanos a vectores, lo que indicó un alto riesgo de propagación. El elevado número de picaduras contribuyó a la propagación continua del virus.
Estos resultados subrayan la importancia de implementar medidas de control y prevención contra las picaduras de mosquitos. Para ello, se recomienda eliminar las aguas estancadas, realizar fumigaciones y utilizar mosquiteros en zonas residenciales. De este modo, se puede evitar la reproducción de estos mosquitos, el contagio de la enfermedad y la propagación del virus.
El enfoque Bayesiano ofrece ventajas en el trabajo: permite incorporar información previa mediante distribuciones a priori, lo que mejora la precisión de las estimaciones. Además, facilita la obtención de intervalos de credibilidad, proporcionando no solo valores puntuales, sino también un rango de valores en el cual se encuentra un parámetro con una cierta probabilidad.
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Published on 19/11/24
Submitted on 09/09/24
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