| style="text-align: center;" | <math>{K}_{d}=\frac{{K}_{Req}}{1-\frac{{L}_{B}}{{L}_{R}}}</math>

Os resultados obtidos por Jewell [1] continuam a ser empregados na prática, tendo sido referidos em [2,3]. No anexo estão reproduzidos os gráficos de Jewell [4] para a determinação do coeficiente de empuxo <math display="inline">K_{Req}</math> e da relação adimensional de comprimento de reforço L/H, utilizando a citada expressão empírica de ajuste. Em trabalho mais recente [5], foi apresentado método de cálculo designado como método ''top-down'', que usa uma análise extensiva de cálculo para determinar a variação do estado de tensão ao longo do comprimento de cada camada de reforço.

A determinação da superfície crítica pode ser feita com o emprego de superfícies circulares, arcos de espiral logarítmica [6, 7], cunhas planas e cunhas com duas partes (''two part wedge'') [1,4]. Esta última forma é a empregada neste trabalho, de superfície de ruptura constituída por dois trechos retos, constituindo uma poligonal bi-linear. Em que pese a diversidade de enfoques empregadas por diversos autores, estas superfícies são razoavelmente coincidentes na definição da possível região crítica passível de ruptura e do esforço máximo exigido das camadas de reforço determinados em Jewell [1]. A norma britânica [8] permite o uso de superfícies planas de ruptura para projetos de muros de arrimo com inclinação entre 70° e 90°, e o uso de superfícies bilineares para taludes com inclinação entre  45° e 70°. Do estudo de Jewell [4], que empregou superfície de ruptura bi-linear, a faixa de inclinações de taludes foi ampliada de 30° até 90°, abrangendo o emprego de geogrelhas e geotexteis

| style="text-align: center;" |<math>T=\frac{{W}_{1}\left( tg{\theta }_{1}-tg\phi '\right) -\displaystyle\frac{c'{l}_{AB}}{\cos{\theta }_{1}}+{U}_{AB}\displaystyle\frac{tg\phi '}{\cos{\theta }_{1}}}{1+tg{\theta }_{1}.tg\phi '}+</math><math>\displaystyle\frac{{W}_{2}\left( tg{\theta }_{2}-tg\phi '\right) -\displaystyle\frac{c'{l}_{BC}}{\cos{\theta }_{2}}+{U}_{BC}\displaystyle\frac{tg\phi '}{\cos{\theta }_{2}}}{1+tg{\theta }_{2}.tg\phi '}</math>

| style="text-align: center;" |<math>T=W{.f}_{1}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) -c.{f}_{2}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) +</math><math>U.{f}_{3}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right)</math>  

| style="text-align: center;" |<math>\frac{T}{\gamma }=\frac{W}{\gamma }{.f}_{1}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) +</math><math>\frac{U}{\gamma }.{f}_{3}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right)</math>  

| style="text-align: center;" |<math>\frac{1}{2}.K.{H}^{2}=A.{f}_{1}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) +</math><math>\frac{1}{2}.{r}_{u}.{H}^{2}.{f}_{3}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right)</math>  

| style="text-align: center;" |<math>K={A}^{\ast }.{f}_{1}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) +{r}_{u}.{f}_{3}\left( {\phi }^{'},{\theta }_{1},{\theta }_{2}\right)</math>  

No método preconizado por Jewell [4] o ângulo de atrito <math>{\phi }^{'}</math> a ser utilizado, para a determinação do esforço total de tração <math>T</math>, deve ser o ângulo de atrito correspondente ao estado crítico, ou de volume constante <math>{\phi }^{'}_{cs}</math>. A razão entre a resistência de pico <math>{\phi }^{'}_{p}</math> e a de estado crítico pode ser considerada, segundo Jewell, um fator de segurança concentrado sobre a resistência ao cisalhamento de pico, ou

<math>{\phi }^{'}_{p}</math> = ângulo de atrito efetivo de resistência de pico;

<math>{\phi }^{'}_{cs}</math> = ângulo de atrito de estado crítico.

Desta forma o ângulo de atrito a ser utilizado nos gráficos de Jewell deve ser um ângulo de atrito efetivo de projeto <math>{\phi }^{'}_{d} = {\phi }^{'}_{cs}</math>, onde <math>{\phi }^{'}_{d} = arc [(\tan {\phi }^{'}_{p})/FS_s]</math>.

| style="text-align: center;" |<math>{T}_{adm}=\frac{{T}_{m\acute{a}x}}{FRT}=\frac{{T}_{\max}}{{FRP}_{FL}\times {FRP}_{DI}\times {FRP}_{MA}\times {FRP}_{AQ}}</math>

Mostra-se a seguir, processo para determinar, com base nas equações de Montanelli e Recalcati [9], o comprimento necessário dos reforços resultante da análise de estabilidade interna. O dito comprimento pode ser obtido diretamente da determinação da superfície crítica e da verificação das superfícies sub-críticas, tendo em vista a segurança ao arrancamento dos reforços. Isto é feito a partir de uma escolha prévia de número de camadas e de forma de espaçamento entre elas. A resistência dos geossintéticos é escolhida de forma a atender à condição de segurança de ruptura à tração. No método de Jewell o dimensionamento do geossintético é determinado em função da tensão de face para a camada inferior do arranjo e de um espaçamento vertical <math>s_v</math> escolhido com base na expressão (12):

===2.1 – Algoritmo de busca da superfície crítica===

{| class="wikitable" style="margin: 0em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width:auto;"  

onde  

 

<math>{\Delta T}_{complementar}</math> – esforço de tração requerido para a camada complementar;

{\tau }_{r} & =\left( {f}_{b}.tg{\phi }^{'}\right) .\, \gamma .z \end{align}</math>

A dedução das expressões de cálculo do comprimento de ancoragem para os três casos antes citados está apresentada nos Anexos, com resultados finais transcritos a seguir, de forma adimensional em relação à altura do corte, isto é, na forma (L/H):

| style="text-align: center;" |<math>\frac{{l}_{anc}}{H}=\frac{-2.\left( \frac{{z}_{0}}{H}\right) +\sqrt{4.{\left( \frac{{z}_{0}}{H}\right) }^{2}+2.\frac{tg\beta }{n}.\frac{{K}_{req}}{tg\phi'.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }}}{2.tg\beta }</math>

Este é o caso representado esquematicamente na [[#img-7|Figura 7]] 7, antes apresentada

| style="text-align: center;" |<math>\frac{{l}_{anc}}{H}=\left( \frac{\frac{{z}_{f}}{H}-\frac{{z}_{m}}{H}}{\frac{{z}_{f}}{H}}\right) .\left( \frac{{x}_{crista}}{H}-\right. </math><math>\left. \frac{{x}_{0}}{H}\right) +\frac{1}{4n}.\frac{{K}_{req}}{{z}_{f}^{\ast }.tg{\phi'}.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }</math>

<math>z_f</math> – profundidade de solo acima da camada de reforço no trecho final de ancoragem ;

<math>{x}_{0}</math> –abcissa das coordenadas do ponto de início do trecho de ancoragem ;

<math>{x}_{crista}</math> –abcissa do ponto da crista do talude .

As demais variáveis na equação (18) são as mesmas envolvidas na Eq.(17).

| style="text-align: center;" |<math>\frac{{l}_{anc}}{H}=\frac{1}{4n}.\frac{{K}_{req}}{\left( \frac{{z}_{f}}{H}\right) .tg\phi'.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }</math>

onde

 

<math>z_f</math> – profundidade de solo acima da camada de reforço no trecho final de ancoragem .

==3 – RESULTADOS==

Para a obtenção dos resultados apresentados a seguir foi feito uso da expressão (2) para determinar os valores de ''K''_req para superfícies críticas e sub-críticas, para taludes onde se fez variar o ângulo de inclinação do talude ''&#x03b2;'' de 30° a 90° e o ângulo de atrito efetivo ''&#x03a6;''’ de 20° a 50°.

Os valores obtidos estão plotados nos anexos, nas figuras A1, A2 e A3, ao lado dos gráficos de Jewell, para comparação de resultados para os casos onde o parâmetro de pressão neutra é igual a r_u = 0, a 0.25 e 0.5, respectivamente. Na obtenção destes resultados observou-se que a divisão da malha com 50 divisões em altura já é suficiente para garantir valores convergentes de “coeficientes de empuxo” com três casas decimais.

Para a verificação da influência das superfícies sub-críticas sobre o comprimento das camadas de reforço foi escolhido um arranjo com 20 camadas. Foram testadas duas formas de distribuição das camadas: com espaçamentos uniformes iguais a 1/20 da altura do talude e com espaçamentos variáveis correspondentes a espaçamentos ideais. A definição da segunda forma de espaçamento está ligada à distribuição linear de tensões horizontais sobre a face de muros de solo reforçado de tal forma que todas as camadas tenham igual esforço no ponto inicial da camada. Para uma tal condição, as camadas devem ter profundidade relativa dada pela expressão (20):

i – número de identificação da camada, partindo de cima para baixo ;

Z(i) – profundidade da camada de número ''i'' medido da cota da crista do talude até à camada ''i'';

n – número de camadas do arranjo de reforços;

H – altura do talude.

==Exemplo 1==

A Figura 8 mostra o esquema de distribuição vertical de camadas com espaçamento ideal, em saída de programa de cálculo, para ângulo ''&#x03b2;'' = 50°, ângulo de atrito efetivo ''&#x03a6;’ = ''20°, parâmetro ''r''_u = 0, coeficiente ''f''_b = 0.5 e ''n'' = 20 camadas. O coeficiente de empuxo resultante é K_req = 0.2975. As camadas de reforço mostram o comprimento mínimo necessário para estabilizar a cunha crítica de ruptura. Para arranjo de camadas de igual comprimento, o comprimento seria determinado pela camada de cima, que apresenta o maior comprimento com relação (L/H)_crítica = 0.622. A superfície crítica de ruptura tem inclinações &#x03b8;₁ = 0° e &#x03b8;_{2 crítica} = 48.4°. O vértice da superfície bi-linear de ruptura (ponto B nas Figuras 4 a 7) têm coordenadas X_B = 0.5 H e Y_B = 0.0 H. O ponto final da superfície de ruptura (ponto C nas Figuras 4 a 6) têm coordenadas X_C = 1.379 H e Y_C = 1.0 H.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image7.png|600px]] </div>

A Figura 9 mostra resultado de processamento com os mesmos dados do exemplo mostrado na Figura 8, onde se vê a superfície crítica, a superfície sub-crítica determinante, e a camada, em particular, que necessita maior comprimento de reforço em relação à superfície sub-crítica, em azul. As demais camadas em verde complementam o arranjo necessário para a estabilidade da cunha sub-crítica determinante. O coeficiente de empuxo para a superfície sub-crítica é K_sc = 0.2154, de forma que pela aplicação da equação (13) o número de camadas para assegurar a estabilidade é n_nec = 14.48. O equilíbrio da cunha delimitada por esta superfície sub-crítica exige um esforço ''T''_máx das 14 camadas inferiores e 0.48 ''T''_máx da 15ª camada (ou sexta camada de cima para baixo). O equilíbrio da cunha definida pela superfície sub-crítica determinante exige o prolongamento das 14 camadas inferiores e de seus comprimentos de ancoragem além da superfície sub-crítica. Observe-se que estes comprimentos de ancoragem serão iguais ou menores do que os determinados em relação à superfície crítica pelo fato de que a tensão normal média sobre o comprimento de ancoragem ou se mantém constante ou aumenta.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image8.png|600px]] </div>

Neste exemplo a sexta camada a partir de cima controla o comprimento que deverá ter arranjo utilizando espaçamento ideal com todas as camadas de mesmo comprimento. A superfície sub-crítica tem ângulo de inclinação &#x03b8;_{2 sub-crítica} = 33.0° e relação de comprimento (L/H)_sub-crítica = 0.835, correspondente à sexta camada a partir de cima. Os comprimentos mostram que, neste caso, a superfície sub-crítica tem efeito significativo e exige comprimento 34.2% maior do que o determinado para a superfície crítica.

Para os mesmos dados utilizados neste primeiro exemplo, e portanto, para cunha crítica com K_req = 0.2975, &#x03b8;₁ = 0° e &#x03b8;_{2 crítica} = 48.7°, empregando espaçamento vertical uniforme entre camadas como mostrado na Figura 10, resulta relação (L/H)_crítica = 0.9467.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image9.png|600px]] </div>

A Figura 11 mostra resultado de processamento para espaçamento uniforme, com os mesmos dados do exemplo mostrado na Figura 8, onde se vê a superfície crítica, a superfície sub-crítica, e a camada, em particular, que necessita maior comprimento de reforço em relação à superfície sub-crítica determinante, em azul. O coeficiente de empuxo para esta superfície sub-crítica é K_sc = 0.2026, de forma que pela aplicação da equação (13) n_nec = 13.62. O equilíbrio da cunha delimitada por esta superfície sub-crítica exige um esforço ''T''_máx das 13 camadas inferiores e 0.62 ''T''_máx da 14ª camada (ou sétima camada de cima para baixo).

A superfície sub-crítica determinante tem ângulo de inclinação &#x03b8;_{2 sub-crítica} = 32.0° e relação de comprimento (L/H)_sub-crítica = 1.0310, correspondente à sétima camada a partir de cima.

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image10.png|600px]]

Os resultados observados nas Figuras 8 a 11 mostram que o uso de espaçamento uniforme, com (L/H)_sub-crítica = 1.031, para os dados deste exemplo, exigem comprimento 23.5 % maior do que a solução com espaçamento ideal, com (L/H)_sub-crítica = 0.835.

==Exemplo 2==

Um segundo exemplo de aplicação é apresentado na Figura 12, para esquema de distribuição vertical de camadas com espaçamento ideal, em saída de programa de cálculo, para ângulo ''&#x03b2;'' = 35°, ângulo de atrito efetivo ''&#x03a6;’ = ''30°, parâmetro ''r''_u = 0.25, coeficiente ''f''_b = 0.5 e ''n'' = 20 camadas. O coeficiente de empuxo resultante é K_req = 0.1370. A superfície crítica de ruptura tem inclinação &#x03b8;₁ = 3.024° e &#x03b8;_{2 crítica} = 44.0°. O vértice da superfície bi-linear de ruptura (ponto B nas Figuras 4 a 6) têm coordenadas X_B = 0.7571 H e Y_B = 0.04 H. O ponto final da superfície de ruptura (ponto C nas Figuras 4 a 6) têm coordenadas X_C = 1.748 H e Y_C = 1.0 H.

As camadas de reforço mostram o comprimento mínimo necessário para estabilizar a cunha crítica de ruptura. Para arranjo de camadas de igual comprimento, o comprimento para assegurar a estabilidade da cunha crítica seria determinado pela 18ª camada de cima para baixo, que apresenta o maior comprimento com relação (L/H)_crítica = 0.712.

O coeficiente de empuxo para a superfície sub-crítica determinante é K_sc = 0.0622, de forma que pela aplicação da equação (13) n_nec = 9.08. A superfície sub-crítica determinante tem inclinações &#x03b8;₁ = 3.024° e &#x03b8;_{2 crítica} = 31.0°. A consideração da superfície sub-crítica exige comprimento com relação (L/H)_sub-crítica = 0.759, passando a camada determinante do comprimento do arranjo a ser a 12ª  camada de cima para baixo, em azul.

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image11.png|600px]]

De maneira análoga à do exemplo 1, para os mesmos dados iniciais utilizados no segundo exemplo, e portanto, para cunha crítica com K_req = 0.1370, e ângulos &#x03b8;₁ = 3.024° e &#x03b8;_{2 crítica} = 44,0°, empregando espaçamento vertical uniforme entre camadas como mostrado na Figura 13, resulta relação (L/H)_crítica = 0.712.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image12.png|600px]] </div>

Para a superfície sub-crítica determinante resulta K_req = 0.0622, de forma que pela aplicação da equação (13) n_nec = 9.08. O equilíbrio da cunha delimitada por esta superfície sub-crítica exige um esforço ''T''_máx das 9 camadas inferiores e 0.08 ''T''_máx da 10ª camada, de baixo para cima. Da Figura 13 pode-se observar que a camada determinante do comprimento é a 12ª camada a partir de cima, camada esta que trabalha sob ''T''_máx, e tem relação (L/H)_sub-crítica = 0.799. A superfície sub-crítica determinante tem inclinações com ângulos &#x03b8;₁ = 3.024° e &#x03b8;_{2 sub-crítica} = 31.0°.

Neste segundo exemplo a solução com espaçamento uniforme que apresenta (L/H)_subcrítica = 0.799, exige comprimento 5.027 % maior do que a solução com espaçamento ideal, com (L/H)_sub-crítica = 0.759.

===3.1 – Relações (L/H)_crítica e (L/H)_sub-crítica para espaçamento ideal===

Os resultados apresentados a seguir se referem a arranjos de 20 camadas de reforço com espaçamento ideal. Foram testados arranjos com menor número de camadas tendo-se observado praticamente os mesmos valores de relações de comprimento (L/H)_crítica e (L/H)_sub-crítica. Desta forma limitou-se, na exposição que se segue, ao caso de arranjo de 20 camadas. As Figuras 14 a 16 mostram os resultados das relações (L/H)_crítica e (L/H)_sub-crítica para r_u = 0, r_u = 0.25 e r_u = 0.5, respectivamente. Foi empregado fator de de interação entre solo e geossintético f_b = 0.5 (valor de f_b adotado nas cartas deJewell [4] para geogrelhas), e ângulo de atrito efetivo igual ao de estado crítico ''&#x03a6;''’ = ''&#x03a6;''’_cs. O ângulo de arito considerado é indicado nas legendas das Figuras 14 a 22.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image13.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image14.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image15.png|600px]] </div>

===3.2 – Relações (L/H)_crítica e (L/H)_sub-crítica para espaçamento uniforme===

As Figuras 17 a 19 mostram os resultados para ''r''_u = 0, ''r''_u = 0.25 e ''r''_u = 0.5, para caso de espaçamento uniforme, respectivamente e demais dados iguais aos utilizados no item 3.1.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image16.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image17.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image18.png|600px]] </div>

Para espaçamento uniforme, pode-se notar das Figuras 17 a 19, que os comprimentos necessários para as superfícies críticas e para as superfícies sub-críticas têm menores diferenças do que para o caso de espaçamento ideal. E, via de regra, arranjos com espaçamento uniforme exigem comprimentos maiores de reforços em relação ao necessário com uso de espaçamento ideal.

===3.3 – Análise de resultados===

As Figuras 20 a 22 a seguir permitem a comparação entre os resultados obtidos neste trabalho, para relação de comprimento (L/H) adimensional, com os gráficos de autoria de Jewell [4]. A análise é apresentada para o caso de espaçamento ideal, para ''r''_u = 0, ''r''_u = 0.25 e ''r''_u = 0.5. Na obtenção destes resultados foi empregado coeficiente de interação solo-geossintético f_b = 0.5 e ângulo de atrito de cálculo &#x03a6;’_d igual a &#x03a6;’_cs para o cálculo dos comprimentos de ancoragem. Nas cartas de Jewell, que foram inicialmente obtidas para geogrelhas, é empregado para este fim f_b = 0.5, e o ângulo de atrito de cálculo &#x03a6;’_d = &#x03a6;’_cs. No caso de emprego de geotextil pode-se usar valor maior para f_b, por exemplo f_b = 0.8.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image19.png|600px]] </div>

As curvas têm comportamento similar. Observa-se quase coincidência de valores para a curva correspondente a um ângulo de atrito &#x03a6;’ = 50°. À medida que o ângulo de atrito diminui cresce o afastamento entre as curvas, em termos absolutos.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image20.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image21.png|600px]] </div>

Da comparação entre gráficos das Figuras 20 a 22 pode-se observar que as curvas apresentam tendências de variação semelhantes e razoável coincidência de valores numéricos. Os maiores afastamentos ocorrem para valor de r_u = 0.5 e para os mais baixos valores de ângulo de atrito.

==4 – CONCLUSÕES==

O emprego de análise de equilíbrio-limite, com base nas equações de Montanelli e Recalcati [9], leva à determinação de coeficientes de empuxo K_req um pouco a favor da segurança e de comprimentos de reforços com tendência semelhante aos resultados obtidos por Jewell em [4].

A observância das superfícies de ruptura sub-críticas é particularmente importante para o caso de taludes de solo reforçado, ou seja, para os taludes com inclinação &#x03b2; &#x2264; 70°. No caso de projetos de muros de solo-reforçado, em que se deve verificar também condição de resistência ao deslizamento, tombamento e de não ocorrência de tensões de tração na base, é comum que a condição determinante do comprimento dos reforços seja de estabilidade externa e não de estabilidade interna da estrutura.

==5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS==

==6 – REFERÊNCIAS==

[1] Jewell, R. A. ''Strength and deformation in reinforced soil design''. Soil Mechanics Report nº 117/91, University of Oxford, UK, 1991.

[2] Vertematti, J. C. ''Manual Brasileiro de Geossintéticos''. 2ª edição, CTG-BAINT, Ed. Blücher, Brasil, 2015.

[3] Vieira, C. F. da Silva. ''Muros de Taludes de Solo Reforçado com Geossintéticos. Comportamento Sísmico e Metodologias de Dimensionamento'', Tese de Doutorado, FEUP Universidade do Porto, Portugal, 2008.

[4] Jewell, R.A. ''Application of revised design charts for steep reinforced slopes''. Geotextiles and Geomembranes, Vol. 10, No. 3, 1991, pag. 203 – 234, 1991.

[5] Leshchinsky, D.; Leshchinsky, B.; Leshchinsky, O. ''Limit state design framework for geosynthetic-reinforced soil structures'', 13 Geotextiles and Geomembranes, Volume 45, Issue 6, 2017, Pages 642-652, ISSN 14 0266-1144, Elsevier, 2017.

[6] Drucker, D.C.; Prager, W. ''Soil Mechanics and Plastic Analysis or Limit Design''. Quarterly of Applied Mathematics, v. 10, n. 2, pag. 157 – 165, 1952.

[7] Yamanouchi, T.; Fukuda, N. Design and Observation of Steep Reinforced Embankments, Third International Conference on Case Histories in Geotechnical Engineering, Missouri University of Science and Technology, 01 Jun 1993 - 06 Jun 1993.

[8] BSI 8006-1, ''British Standard'' - ''Code of Practice for Strengthened / Reinforced Soil and Other Fills'', ISBN 978 0 580 53842 1, 2010

[9] Montanelli, F.; Recalcati, P. The design of reinforced soil retaining walls using TENAX geogrids. Design Manual TENAX SPA, Geosynthetics Division, Italy, 2003.

[10] FHWA. ''Reinforced Soil Structures, Design and Construction Guidelines'', Volume I. u.s. Department of Transportation, Federal Highway Administration, USA, pag. 152, 1990.

==A.1. Coeficientes de empuxo K_req==

Os gráficos a seguir mostram a reprodução do cálculo dos valores do coeficiente de empuxo ''K''_req, obtidos com o uso da expressão (2), extraída do trabalho de Montanelli e Recalcati [9] e os gráficos apresentados por Jewell [1,4].

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image22.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

'''Fig. A2 '''– Coeficiente ''K''_req (a) Montanelli e Recalcati [9], (b) Jewell [1.4] para ''r''_u = 0.25.</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

'''Fig. A3 '''– Coeficiente ''K''_req (a) Montanelli e Recalcati [9], (b) Jewell [1,4] para ''r''_u = 0.5.</div>

==<br/>A.2. Comprimentos de ancoragem==

[[Image:Draft_Puppi_550155759-image25.png|600px]]

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{\sigma }_{v}^{'}=\gamma .z-{r}_{u}.\gamma .z</math>

 

<math>{\sigma }_{v}^{'}=\left( 1-{r}_{u}\right) .\gamma .z</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{T}_{adm}=2.\int_{0}^{{l}_{e}}{\tau }_{r}\left( l\right) .dl</math>

 

<math>\frac{{\frac{1}{2}K}_{req}.\gamma .{H}^{2}}{n}=2.\int_{0}^{{l}_{e}}{\sigma }_{v}^{'}.tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.dl</math>

 

<math>\frac{{\frac{1}{2}K}_{req}.\gamma .{H}^{2}}{n}=2.tg{\phi }^{'}.{f}_{b}\int_{0}^{{l}_{e}}{\sigma }_{v}^{'}.dl</math>

 

<math>\frac{{\frac{1}{2}K}_{req}.\gamma .{H}^{2}}{n}=2.tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-\right. </math><math>\left. {r}_{u}\right) .\gamma \int_{0}^{{l}_{e}}z.dl</math>

 

<math>\frac{{\frac{1}{2}K}_{req}.\gamma .{H}^{2}}{n}=2.tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-\right. </math><math>\left. {r}_{u}\right) .\gamma \int_{0}^{{l}_{e}}\left( {z}_{0}+l.tg\beta \right) .dl</math>

 

<math>\frac{{K}_{req}}{4n}.\frac{1}{tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }=\frac{{z}_{0}}{H}.\left( \frac{{l}_{e}}{H}\right) +</math><math>\frac{tg\beta }{2}.{\left( \frac{{l}_{e}}{H}\right) }^{2}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>tg\beta .{\left( \frac{{l}_{e}}{H}\right) }^{2}+\frac{{2.z}_{0}}{H}.\left( \frac{{l}_{e}}{H}\right) -</math><math>\frac{1}{2n}.\frac{{K}_{req}}{tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }=0</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

Onde colocando <math display="inline">{l}_{e}^{\ast }=\frac{{l}_{e}}{H}</math> e <math display="inline">{z}_{0}^{\ast }=</math><math>\frac{{z}_{0}}{H}\,</math>  fica:

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>tg\beta .{\left( {l}_{e}^{\ast }\right) }^{2}+2.{z}_{0}^{\ast }.\left( {l}_{e}^{\ast }\right) -</math><math>\frac{1}{2n}.\frac{{K}_{req}}{tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }=0</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e}^{\ast }=\frac{-2.{z}_{0}^{\ast }+\sqrt{4.{\left( {z}_{0}^{\ast }\right) }^{2}+4.tg\beta .\frac{1}{2n}.\frac{{K}_{req}}{tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }}}{2.tg\beta }</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\frac{{l}_{anc}}{H}=\frac{-2.\frac{{z}_{0}}{H}+\sqrt{4.{\left( \frac{{z}_{0}}{H}\right) }^{2}+4.tg\beta .\frac{1}{2n}.\frac{{K}_{req}}{tg{\phi }^{'}.{f}_{b}.\left( 1-{r}_{u}\right) }}}{2.tg\beta }</math>

|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|(A1)

Neste caso o trecho de ancoragem tem parte sujeita a tensão resistente de atrito variável (trecho ''l''_e1) e parte sob tensão resistente de atrito constante (trecho ''l''_e2).  Isto é, um trecho tem tensão vertical variável (trecho ''l''_e1) e o outro tem tensão vertical constante (trecho ''l''_e2).

 

 

Determina-se o trecho com tensão de aderência variável (trecho ''l''_e1):

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

|  style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e1}={x}_{crista\, \, }-{x}_{0}</math>

|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|

E determina-se a contribuição do trecho ''l''_e1 para a força de ancoragem:

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{z}_{m}=\frac{{z}_{0}+{z}_{f}\, }{2}=\frac{{z}_{0}+\left( H-{y}_{0}\right) \, }{2}</math>

 

<math>{\sigma }_{vm}^{'}=\gamma .{z}_{m}-{r}_{u}.\gamma .{z}_{m}</math>

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{\tau }_{m}{=\sigma }_{vm\, }^{'}.tg{\phi }^{'}.{f}_{b}</math>

 

<math>{\tau }_{m}=\gamma .{z}_{m}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}</math>

 

<math>{\tau }_{m}=\gamma .\left[ \frac{{z}_{0}+\left( H-{y}_{0}\right) \, }{2}\right] .\left( 1-\right. </math><math>\left. {r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{F}_{r1}=2.{\tau }_{m}\, .{l}_{e1}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{F}_{r1}=2\, .\left[ \gamma .\frac{\left( {z}_{0}+{z}_{f}\right) }{2}.\left( 1-{r}_{u}\right) \, .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}\right] .\left( {x}_{crista\, \, }-\right. </math><math>\left. {x}_{0}\right)</math>  

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\left( {F}_{ref}-\, {F}_{r1}\right) =2.\tau \, .{l}_{e2}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\, {l}_{e2}=\frac{\left( {F}_{ref}-\, {F}_{r1}\right) }{2.\tau }</math>

 

<math>{l}_{e2}=\frac{\left( {F}_{ref}-\, {F}_{r1}\right) }{2.\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{F}_{ref}=\, \frac{{\frac{1}{2}\, .\, K}_{req}.\gamma .{H}^{2}}{n}=\frac{1}{2n}\, .\, {K}_{req}\, .\, \gamma .{H}^{2}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e2}=\frac{{F}_{ref}}{2.\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}\, -</math><math>\, \frac{{F}_{r1}}{2.\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

 

<math>{l}_{e2}=\frac{\frac{1}{2n}\, .\, {K}_{req}\, .\, \gamma .{H}^{2}}{2.\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}\, -</math><math>\, \frac{2\, .\left[ \gamma .\frac{\left( {z}_{0}+{z}_{f}\right) }{2}.\left( 1-{r}_{u}\right) \, .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}\right] .\left( {x}_{crista\, \, }-{x}_{0}\right) }{2.\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

 

<math>{l}_{e2}=\frac{1}{4n}.\frac{\, {K}_{req}\, .\, {H}^{2}}{{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}\, -</math><math>\frac{{z}_{m}}{{z}_{f}}\, .\left( {x}_{crista\, \, }-{x}_{0}\right)</math>

 

 

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

|  style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e}={l}_{e1}+\, {l}_{e2}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e}=\left( {x}_{crista\, \, }-{x}_{0}\right) +\frac{1}{4n}.\frac{\, {K}_{req}\, .\, {H}^{2}}{{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}\, -\, \frac{{z}_{m}}{{z}_{f}}\, .\left( {x}_{crista\, \, }-\right. </math><math>\left. {x}_{0}\right)</math>

 

<math>{l}_{e}=\, \left( \frac{{z}_{f}-{z}_{m}}{{z}_{f}}\right) .\left( {x}_{crista\, \, }-\right. </math><math>\left. {x}_{0}\right) +\frac{1}{4n}.\frac{\, {K}_{req}\, .\, {H}^{2}}{{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

 

 

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

Onde colocando <math display="inline">{l}_{e}^{\ast }=\frac{{l}_{e}}{H}</math> , <math display="inline">{z}_{f}^{\ast }=</math><math>\frac{{z}_{f}}{H}</math> , <math display="inline">{z}_{m}^{\ast }=\frac{{z}_{m}}{H}</math> , <math display="inline">{x}_{crista}^{\ast }=</math><math>\frac{{x}_{crista}}{H}</math> e <math display="inline">{x}_{0}^{\ast }=\frac{{x}_{0}}{H}\,</math> fica:

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e}^{\ast }=\, \left( \frac{{z}_{f}^{\ast }-{z}_{m}^{\ast }}{{z}_{f}^{\ast }}\right) .\left( {x}_{crista}^{\ast }-\right. </math><math>\left. {x}_{0}^{\ast }\right) +\frac{1}{4n}.\frac{\, {K}_{req}\, }{{z}_{f}^{\ast }.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

 

 

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\frac{{l}_{anc}}{H}=\, \left( \frac{\frac{{z}_{f}}{H}-\frac{{z}_{m}}{H}}{\frac{{z}_{f}}{H}}\right) .\left( \frac{{x}_{crista}}{H}-\right. </math><math>\left. \frac{{x}_{0}}{H}\right) +\frac{1}{4n}.\frac{\, {K}_{req}\, }{\frac{{z}_{f}}{H}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

 

 

|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|(A2)

z_f – profundidade de solo acima da camada de reforço no trecho final de ancoragem ;

z_m – profundidade média de solo no trecho final sob a face do talude z_m = (z₀ + z_f) / 2;

x₀ –abcissa das coordenadas do ponto de início do trecho de ancoragem ;

 

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

'''Fig. A6 '''– Terceiro caso de ancoragem – ancoragem totalmente sob o terrapleno.</div>

 

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

 

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

|  style="vertical-align: top;"|<math>{\sigma }_{v}^{'}=\gamma .{z}_{f}-{r}_{u}.\gamma .{z}_{f}</math>

 

|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\tau {=\sigma }_{v\, }^{'}.tg{\phi }^{'}.{f}_{b}</math>

 

<math>\tau =\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{F}_{ref}=2.\tau \, .{l}_{e}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\frac{1}{2n}.{K}_{req}.\, \gamma .{H}^{2}=2.\left[ \gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}\right] .{l}_{e}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e}\, =\, \frac{1}{4n}.\frac{{K}_{req}.\, \gamma .{H}^{2}}{\gamma .{z}_{f}.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

|  style="vertical-align: top;"|<math>{l}_{e}^{\ast }\, =\, \frac{1}{4n}.\frac{{K}_{req}.}{\gamma .{z}_{f}^{\ast }.\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>\frac{{l}_{anc}}{H}\, =\, \frac{1}{4n}.\frac{{K}_{req}.}{\gamma .\left( \frac{{z}_{f}}{H}\right) .\left( 1-{r}_{u}\right) .tg{\phi }^{'}.{f}_{b}}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|(A3)

z_f – profundidade de solo acima da camada de reforço no trecho final de ancoragem ;

==A.3. Expressões para cálculo dos esforços de sub-pressão U_AB e U_BC==

As forças de sub-pressão '''U_AB '''e''' U_BC''' referidas no item 2 e indicadas esquematicamente na Fig. 3, correspondem às forças denominadas a seguir como '''U₁ '''e''' U₂'''. O cálculo destas forcas pode recair em três casos dependendo da posição relativa do ponto de interseção P(I,J) na malha de referência, em relação ao ponto da crista do talude P(1,Np1). O índice Np1 = N+1.

'''Primeiro caso''': XP(I,J) &#x2264; XP (1,Np1) e ponto final XP(IT,Np1) = XP (1,Np1)

Este é o caso representado na Figura A6, onde o ponto da crista do talude tem projeção situada à direita do ponto P(I,J) e, portanto, a cunha de ruptura se situa sob a face do talude.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

'''Fig.''' '''A7'''. Determinação das forças de sub-pressão U1 e U2 – Caso 1.</div>

 

{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"  

| style="vertical-align: top;"|

| style="vertical-align: top;"|<math>{U}_{1}=\frac{{r}_{u}.{Z}_{1}.{L}_{1}}{2}</math>

 

<math>{U}_{2}=\frac{{r}_{u}.{Z}_{1}.{L}_{2}}{2}</math>

| style="text-align: right;vertical-align: top;"|(A4)

 

(A5)