MARTIN CHICA 2017a - Revision history

Rimni at 10:03, 20 May 2022

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Rimni at 14:20, 31 January 2022

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Rimni: /* 8. Ejemplo práctico 2: voladizo en flexión simple */

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‎8. Ejemplo práctico 2: voladizo en flexión simple

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 ==Abstract==
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 '''Keywords''': Matrix, element, compatibility, balance, constitutive, nodal forces.
 ==1. Antecedentes==

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 & -a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a\\
 -a & 0 & 0 & 0 & 0 & b & a & -b
-\end{array}\right]\!\!\left[\begin{array}{c}
+\end{array}\right]\,\,\,\,\left[\begin{array}{c}
 u_i\\
 v_i\\ \hline

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 & -a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a\\
 -a & 0 & 0 & 0 & 0 & b & a & -b
-\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
+\end{array}\right]\!\!\left[\begin{array}{c}
 u_i\\
 v_i\\ \hline

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 [[Image:Draft_MARTIN_CHICA_155310248_9833_draft_MARTIN CHICA_155310248-picture-Lienzo 2201.png]]
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-| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
+| style="padding-left:10px;padding-right:10px;"| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
 '''Figura 1'''. Elemento rectangular de 4 nodos aislado.
 (a) Distribución de tensiones normales. b) Tensiones tangenciales. c) Fuerzas Nodales Equivalentes

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 Tanto en el tradicional MEF como en la metodología que se propone en este artículo, las Ecuaciones de Compatibilidad se consiguen a partir de las mismas ''funciones de interpolación'', por lo que la matriz Elemental que relaciona las deformaciones en los nodos del elemento con los desplazamientos de dichos nodos es idéntica en ambos procedimientos. Pero, mientras que en aquél se aplica el PTV para la determinación de las Fuerzas Nodales Equivalentes que se han de utilizar para la consecución de las Ecuaciones de Equilibrio de todos los nodos de la estructura, en éste dichas fuerzas se consiguen bajo la hipótesis de que las tensiones en los lados del elemento varían linealmente a lo largo de dichos lados. Además de esto, puesto que el sistema de ecuaciones que en este procedimiento se utiliza viene dado en todas las incógnitas del problema en forma explícita, es posible imponer a cualquiera de dichas incógnitas todo tipo de restricción, por lo que, aparte de las condiciones de apoyo imprescindibles para evitar el movimiento como sólido rígido, se imponen también condiciones de equilibrio a todos y cada uno de los elementos que discretizan la estructura, así como las condiciones de tensión en el perímetro del dominio; condiciones que, al no ser posible contemplar con el tradicional MEF, éste se ve obligado a sumir unos errores originados por un mayor alejamiento entre la modelización a adoptar y el hecho físico real. Los ejemplos prácticos que se estudian, utilizando como base el elemento rectangular de 4 nodos, muestran unos resultados un tanto mejorados respecto a los que se obtienen con el tradicional MEF.
-Palabras clave: Elemento, matriz, compatibilidad, equilibrio, constitutivas, fuerzas nodales.
+'''Palabras clave''': Elemento, matriz, compatibilidad, equilibrio, constitutivas, fuerzas nodales.
 ==1. Antecedentes==

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-en las incógnitas exclusivas de desplazamiento  <math>\mathbf{d'}</math> y de Multiplicadores de Lagrange. Pero como quiera que los multiplicadores asociados a las restricciones estáticas no tendrán, en general, interés práctico alguno -serán las deformaciones, con sentido contrario, que hay que imponer a los elementos para que se cumplan tales condiciones- también convendrá eliminarlas, lo que podrá hacerse con ayuda de unas determinadas matrices de Transformación utilizando el procedimiento que se expone en la Ref.3, Cap.8 y que aquí no se incluyen por motivos de espacio y por no ser objeto primordial de esta investigación. Asimismo será fácil la eliminación de <math>\mathbf{{\mbox{λ}}_\mbox{R}};</math> e incluso de aquellos elementos de <math>\mathbf{d'}</math> que se sabe que son nulos, cuales son los desplazamientos en los aparatos de apoyo, consiguiéndose entonces un sistema de idénticas dimensiones al correspondiente del Método Directo de la Rigidez, pero con la salvedad de que se obtendrán unos resultados muy mejorados respecto a los que se obtendrían por el MEF tradicional, como se demostrará con los ejemplos que a continuación se detallan, pues como ya se ha indicado, el MEF tradicional parte de un sistema con mucha menos información que el método que aquí se propone. No obstante, aunque el sistema  ha de constar de 2''n''+3''e'' incógnitas, más las asociadas a los condiciones de contorno (cinemáticas y estáticas) hay que tener en cuenta que en la práctica será necesario modelizar el dominio en estudio con un elevado número de elementos para conseguir una solución aceptable y, por lo tanto, el número de condiciones de contorno será muy pequeño frente a 2''n''+3''e'', por lo que no merecerá la pena reducir el sistema mediante tales eliminaciones. Por otra parte, si bien el sistema [[#ZEqnNum345760|(35)]]-y los derivados de éste si se eliminan algunos o todos los Multiplicadores de Lagrange-  tiene muchas menos incógnitas que los anteriores, será obligado proceder al cálculo posterior de deformaciones y tensiones, post-proceso que es imprescindible en el tradicional MEF, pero innecesario en el método que aquí se propone utilizando cualquiera de los sistemas [[#ZEqnNum391914|(30)]], [[#ZEqnNum391944|(32)]] o [[#ZEqnNum431138|(33)]], los cuales devuelven de forma directa los valores de todas la incógnitas.
+en las incógnitas exclusivas de desplazamiento  <math>\mathbf{d'}</math> y de Multiplicadores de Lagrange. Pero como quiera que los multiplicadores asociados a las restricciones estáticas no tendrán, en general, interés práctico alguno -serán las deformaciones, con sentido contrario, que hay que imponer a los elementos para que se cumplan tales condiciones- también convendrá eliminarlas, lo que podrá hacerse con ayuda de unas determinadas matrices de Transformación utilizando el procedimiento que se expone en la Ref. [3], Cap.8 y que aquí no se incluyen por motivos de espacio y por no ser objeto primordial de esta investigación. Asimismo será fácil la eliminación de <math>\mathbf{{\mbox{λ}}_\mbox{R}};</math> e incluso de aquellos elementos de <math>\mathbf{d'}</math> que se sabe que son nulos, cuales son los desplazamientos en los aparatos de apoyo, consiguiéndose entonces un sistema de idénticas dimensiones al correspondiente del Método Directo de la Rigidez, pero con la salvedad de que se obtendrán unos resultados muy mejorados respecto a los que se obtendrían por el MEF tradicional, como se demostrará con los ejemplos que a continuación se detallan, pues como ya se ha indicado, el MEF tradicional parte de un sistema con mucha menos información que el método que aquí se propone. No obstante, aunque el sistema  ha de constar de 2''n''+3''e'' incógnitas, más las asociadas a los condiciones de contorno (cinemáticas y estáticas) hay que tener en cuenta que en la práctica será necesario modelizar el dominio en estudio con un elevado número de elementos para conseguir una solución aceptable y, por lo tanto, el número de condiciones de contorno será muy pequeño frente a 2''n''+3''e'', por lo que no merecerá la pena reducir el sistema mediante tales eliminaciones. Por otra parte, si bien el sistema [[#ZEqnNum345760|(35)]]-y los derivados de éste si se eliminan algunos o todos los Multiplicadores de Lagrange-  tiene muchas menos incógnitas que los anteriores, será obligado proceder al cálculo posterior de deformaciones y tensiones, post-proceso que es imprescindible en el tradicional MEF, pero innecesario en el método que aquí se propone utilizando cualquiera de los sistemas [[#ZEqnNum391914|(30)]], [[#ZEqnNum391944|(32)]] o [[#ZEqnNum431138|(33)]], los cuales devuelven de forma directa los valores de todas la incógnitas.
 ==7. Ejemplo práctico 1: voladizo en flexión pura y en flexión simple==
-La estructura que se muestra en la [[#img-2|Figura 2]] es el conocido “Patch test” aplicado a una viga en voladizo y analizada en la Ref. 2<sup>§4.14.1</sup> con los valores ''E=''1500, ''ν ''= 0.25 y ''t ''= 1 para dos tipos de cargas: a) Flexión pura, producida por dos fuerzas horizontales iguales y contrarias aplicadas en los vértices de la cara derecha y b) Flexión simple por aplicación de sendas cargas verticales de igual magnitud y dirección aplicadas también en dichos puntos, tal y como se muestra en la figura. Aunque algunos autores prefieren suponer uno de los apoyos como móvil, parece ser lo más coherente para modelizar el empotramiento considerar fijos a ambos y en base a esto se analizará la estructura con la metodología que aquí se propone.
+La estructura que se muestra en la [[#img-2|Figura 2]] es el conocido “Patch test” aplicado a una viga en voladizo y analizada en la Ref. [2]<sup>§4.14.1</sup> con los valores ''E=''1500, ''ν ''= 0.25 y ''t ''= 1 para dos tipos de cargas: a) Flexión pura, producida por dos fuerzas horizontales iguales y contrarias aplicadas en los vértices de la cara derecha y b) Flexión simple por aplicación de sendas cargas verticales de igual magnitud y dirección aplicadas también en dichos puntos, tal y como se muestra en la figura. Aunque algunos autores prefieren suponer uno de los apoyos como móvil, parece ser lo más coherente para modelizar el empotramiento considerar fijos a ambos y en base a esto se analizará la estructura con la metodología que aquí se propone.
 <div id='img-2'></div>
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;"
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 |  rowspan='2' style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Método</span>
-|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Para los  datos de la Ref.4</span>
+|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Para los  datos de la Ref. [4]</span>
-|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Para los datos de la Ref.5</span>
+|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Para los datos de la Ref. [5]</span>
-|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Para los datos de la Ref.6</span>
+|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Para los datos de la Ref. [6]</span>
 |-
 |  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Flecha</span>
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 |  rowspan='2' style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Método</span>
-|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Ejercicio de la Ref.3</span>
+|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Ejercicio de la Ref. [3]</span>
-|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Ejercicio de la Ref.4</span>
+|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Ejercicio de la Ref. [4]</span>
-|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Ejercicio de la Ref.5</span>
+|  colspan='3'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Ejercicio de la Ref. [5]</span>
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 |  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Flecha</span>
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 ==11. Dimensiones de los sistemas==
-A primera vista se puede tener la impresión de que la metodología propuesta adolece del inconveniente de exigir un sistema de ecuaciones de dimensiones muy superiores a los del método tradicional, y ello efectivamente es así, pues si se considera un dominio cualquiera discretizado con ''n'' nudos y ''e'' elementos y utilizando, p.e., el sistema reducido [[#ZEqnNum431138|(33)]] cuya resolución devuelve de forma directa las tensiones, este sistema tendría unas dimensiones de 2''n''+12''e'' más el número de Multiplicadores de Lagrange consecuencia de las restricciones, mientras que el MEF tradicional requeriría sólo de 2''n'' ecuaciones, menos el número de restricciones de apoyo, es decir, muchas menos que aquél. Pero esta comparación solamente sería válida si se obtuviesen soluciones igualmente aceptables con ambos procedimientos, lo cual no es así, como ampliamente se ha demostrado en todos los ejemplos numéricos expuestos. Por lo tanto es obligado plantearse tal comparación en los términos de qué dimensiones han de tener los sistemas de cada procedimiento para que su resolución devuelva unos resultados equivalentes y, además, aceptables; y desde esta óptica, la afirmación de que el método propuesto adolece de tal inconveniente no será, en general, cierta. De los ejemplos antes expuestos fijémonos p.e., en los ejercicios 2 y 3 y extraídos de la Ref.6, ya que en ésta figuran las gráficas que relacionan los resultados en función del número de g.d.l:
+A primera vista se puede tener la impresión de que la metodología propuesta adolece del inconveniente de exigir un sistema de ecuaciones de dimensiones muy superiores a los del método tradicional, y ello efectivamente es así, pues si se considera un dominio cualquiera discretizado con ''n'' nudos y ''e'' elementos y utilizando, p.e., el sistema reducido [[#ZEqnNum431138|(33)]] cuya resolución devuelve de forma directa las tensiones, este sistema tendría unas dimensiones de 2''n''+12''e'' más el número de Multiplicadores de Lagrange consecuencia de las restricciones, mientras que el MEF tradicional requeriría sólo de 2''n'' ecuaciones, menos el número de restricciones de apoyo, es decir, muchas menos que aquél. Pero esta comparación solamente sería válida si se obtuviesen soluciones igualmente aceptables con ambos procedimientos, lo cual no es así, como ampliamente se ha demostrado en todos los ejemplos numéricos expuestos. Por lo tanto es obligado plantearse tal comparación en los términos de qué dimensiones han de tener los sistemas de cada procedimiento para que su resolución devuelva unos resultados equivalentes y, además, aceptables; y desde esta óptica, la afirmación de que el método propuesto adolece de tal inconveniente no será, en general, cierta. De los ejemplos antes expuestos fijémonos p.e., en los ejercicios 2 y 3 y extraídos de la Ref. [6], ya que en ésta figuran las gráficas que relacionan los resultados en función del número de g.d.l:
 - Para el ejemplo 2 (§8): adoptando el sistema [[#ZEqnNum431138|(33)]], la flecha en el punto C con la metodología propuesta y una modelización de 5 elementos vale 0.1793 (valor que puede considerarse aceptable, ya que el exacto es 0.18); la matriz de dicho sistema tiene unas dimensiones de 123×123, y en cuanto a la tensión en el punto B este sistema devuelve el valor exacto, que es 2.70×10<sup>5</sup>. Para conseguir un valor semejante e igualmente aceptable para la flecha por el MEF (0.1788) se requiere una modelización de 1192 elementos, que origina un sistema de dimensiones 2044×2044, esto es, 16.6 veces mayor que aquél; el valor de la tensión en B con este sistema es  2.5798×10<sup>5</sup>, menos preciso que el que se ha obtenido anteriormente. El sistema de 123 ecuaciones devuelve, pues, mejores resultados que el de 2044, sobre todo para las tensiones, magnitudes prioritarias en todo análisis estrutural.

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 ==10. Ejemplo práctico 4==
-Como último ejemplo, un tanto diferente a los anteriores, se analiza la estructura de la Fig.5, extraída de la Ref.7,<sup>§6.4.1</sup> modelizándose como una viga de gran canto simplemente apoyada y sometida a carga triangular en su cara superior. Debido a la simetría geométrica y de acciones, se utilizará la mitad izquierda para la determinación de los desplazamientos de los nudos y distribución de tensiones, para lo cual bastará con seguir los pasos del §7 con los cambios pertinentes de los datos y de la modelización adoptada. Puesto que en dicha referencia se detallan profusamente todos los pasos -excepto el cálculo de las matrices elementales mediante la integración-  que el método requiere, pueden contrastarse éstos con los de esta metodología con objeto de comparar el grado de complejidad de que cada uno de los procedimientos.
+Como último ejemplo, un tanto diferente a los anteriores, se analiza la estructura de la [[#img-5|Figura 5]], extraída de la Ref. [7],<sup>§6.4.1</sup> modelizándose como una viga de gran canto simplemente apoyada y sometida a carga triangular en su cara superior. Debido a la simetría geométrica y de acciones, se utilizará la mitad izquierda para la determinación de los desplazamientos de los nudos y distribución de tensiones, para lo cual bastará con seguir los pasos del §7 con los cambios pertinentes de los datos y de la modelización adoptada. Puesto que en dicha referencia se detallan profusamente todos los pasos -excepto el cálculo de las matrices elementales mediante la integración-  que el método requiere, pueden contrastarse éstos con los de esta metodología con objeto de comparar el grado de complejidad de que cada uno de los procedimientos.
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 |}
-Adoptando el mismo criterio que el de la referencia, se analiza la estructura para modelizaciones de 4, 9, 16 y 36 elementos, de los que se detalla el primero de ellos, de acuerdo con la Fig.5b). Como ya se comentó en la exposición teórica, §3.6, se puede resolver el sistema <span id='cite-ZEqnNum259985'></span>[[#ZEqnNum259985|(26)]], esto es, sin introducir condición estática perimetral alguna, con lo que se obtienen unos resultados ya mejorados respecto al método tradicional (p.e. la flecha en el nudo 3 sería de -0.9163×10<sup>-4</sup> frente a -0.8754×10<sup>-4 </sup>que figura en el original); pero puede comprobarse cómo a medida que se van introduciendo dichas condiciones los resultados van tendiendo a la solución exacta, pues cada condición añadida representa una nueva información para el sistema a resolver, por lo que éste devolverá unos resultados cada vez más precisos. De acuerdo con esto, observando la Fg.5b), las tensiones normales en la dirección horizontal de todos los nodos del lateral izquierdo han de ser nulas (el método tradicional asigna una tensión en el nudo 1 de valor 385.185, es decir, muy lejos del valor real) y al introducir dichas condiciones en el sistema la flecha en el nudo 3 pasa a valer -1.0582×10<sup>-4</sup>, esto es, más correcta que la anterior. Si además se añaden las condiciones de tensiones tangenciales nulas en los nodos del lado derecho debido a la simetría de la estructura (el método tradicional asigna una tensión tangencial en el nudo 9 de valor -329.167, cuando debería ser nulo), dicha flecha  pasa a valer -1.3515×10<sup>-4</sup>, valor más preciso que los dos anteriores. Así, pues, las matrices elementales de restricciones estáticas perimetrales a introducir en el §7.8 han de contemplar que para los elementos 1 y 3: <span style="text-align: center; font-size: 75%;"> <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{i}</math> = <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{m}</math> = 0; y </span>para el 2 y el 4: <span style="text-align: center; font-size: 75%;"> <math display="inline">{\mbox{τ}}^\mbox{j}</math> = <math display="inline">{\mbox{τ}}^\mbox{k}</math> = 0. </span>Con objeto de comparar resultados, en la Tabla 13 se muestran los valores de los desplazamientos de los nudos con el método tradicional y con el de la propuesta, para una modelización de 4 rectángulos, en la que se ha resaltado en negritas el valor de la flecha en el nudo 3, punto medio del lado inferior de la estructura original y cuyo valor exacto es 1.86×10<sup>-4</sup>.
+Adoptando el mismo criterio que el de la referencia, se analiza la estructura para modelizaciones de 4, 9, 16 y 36 elementos, de los que se detalla el primero de ellos, de acuerdo con la [[#img-5|Figura 5]] (b). Como ya se comentó en la exposición teórica, §3.6, se puede resolver el sistema <span id='cite-ZEqnNum259985'></span>[[#ZEqnNum259985|(26)]], esto es, sin introducir condición estática perimetral alguna, con lo que se obtienen unos resultados ya mejorados respecto al método tradicional (p.e. la flecha en el nudo 3 sería de -0.9163×10<sup>-4</sup> frente a -0.8754×10<sup>-4 </sup>que figura en el original); pero puede comprobarse cómo a medida que se van introduciendo dichas condiciones los resultados van tendiendo a la solución exacta, pues cada condición añadida representa una nueva información para el sistema a resolver, por lo que éste devolverá unos resultados cada vez más precisos. De acuerdo con esto, observando la [[#img-5|Figura 5]] (b), las tensiones normales en la dirección horizontal de todos los nodos del lateral izquierdo han de ser nulas (el método tradicional asigna una tensión en el nudo 1 de valor 385.185, es decir, muy lejos del valor real) y al introducir dichas condiciones en el sistema la flecha en el nudo 3 pasa a valer -1.0582×10<sup>-4</sup>, esto es, más correcta que la anterior. Si además se añaden las condiciones de tensiones tangenciales nulas en los nodos del lado derecho debido a la simetría de la estructura (el método tradicional asigna una tensión tangencial en el nudo 9 de valor -329.167, cuando debería ser nulo), dicha flecha  pasa a valer -1.3515×10<sup>-4</sup>, valor más preciso que los dos anteriores. Así, pues, las matrices elementales de restricciones estáticas perimetrales a introducir en el §7.8 han de contemplar que para los elementos 1 y 3: <span style="text-align: center; font-size: 75%;"> <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{i}</math> = <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{m}</math> = 0; y </span>para el 2 y el 4: <span style="text-align: center; font-size: 75%;"> <math display="inline">{\mbox{τ}}^\mbox{j}</math> = <math display="inline">{\mbox{τ}}^\mbox{k}</math> = 0. </span>Con objeto de comparar resultados, en la [[#tab-13|Tabla 13]] se muestran los valores de los desplazamientos de los nudos con el método tradicional y con el de la propuesta, para una modelización de 4 rectángulos, en la que se ha resaltado en negritas el valor de la flecha en el nudo 3, punto medio del lado inferior de la estructura original y cuyo valor exacto es 1.86×10<sup>-4</sup>.
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-Como se observa en la tabla, así como en todas las anteriores, los desplazamientos del método propuesto son siempre mayores y más correctos que los del tradicional, de lo que se infiere que en esta metodología los elementos adoptan un comportamiento menos rígido que en aquélla. Así, p.e., el error en la flecha del nudo 3 (en negritas en la Tabla) en el procedimiento tradicional es del 52.93%, mientras que para el método propuesto es del 27.34, es decir se reduce prácticamente a la mitad de aquél. Las tensiones normales en la dirección horizontal en los nudos del eje de simetría valen  <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{3}=982.469</math> ,  <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{6}=-50.26</math> y  <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{9}=-826,</math> por lo que la distribución de tensiones en dicha sección sería el que se muestra en la Fg.6, donde también se incluye la gráfica correspondiente al método tradicional. Comparando ambas gráficas se puede observar que la correspondiente al método propuesto se acerca algo más a la distribución real de las tensiones, de acuerdo con los valores de los respectivos momentos que figuran en la Tabla 14.
+Como se observa en la tabla, así como en todas las anteriores, los desplazamientos del método propuesto son siempre mayores y más correctos que los del tradicional, de lo que se infiere que en esta metodología los elementos adoptan un comportamiento menos rígido que en aquélla. Así, p.e., el error en la flecha del nudo 3 (en negritas en la Tabla) en el procedimiento tradicional es del 52.93%, mientras que para el método propuesto es del 27.34, es decir se reduce prácticamente a la mitad de aquél. Las tensiones normales en la dirección horizontal en los nudos del eje de simetría valen  <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{3}=982.469</math> ,  <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{6}=-50.26</math> y  <math display="inline">{\mbox{σ}}_\mbox{x}^\mbox{9}=-826,</math> por lo que la distribución de tensiones en dicha sección sería el que se muestra en la [[#img-6|Figura 6]], donde también se incluye la gráfica correspondiente al método tradicional. Comparando ambas gráficas se puede observar que la correspondiente al método propuesto se acerca algo más a la distribución real de las tensiones, de acuerdo con los valores de los respectivos momentos que figuran en la [[#tab-14|Tabla 14]].
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 ===10.1 Análisis de la convergencia===
-Por último se confecciona la Tabla 14 en la que figuran las flechas del nudo 3 y el momento en la sección central de la estructura para modelizaciones de 3, 9, 16 y 36 elementos, así como los errores para cada discretización. Es de señalar que el método propuesto proporciona valores mucho más precisos que el tradicional para una misma discretización, sobre todo para las tensiones, parámetros de primordial importancia en el análisis por elementos finitos; véase, p.e., cómo los valores con 16 elementos con el método propuesto superan en exactitud a los obtenidos con 36 por el MEF.
+Por último se confecciona la [[#tab-14|Tabla 14]] en la que figuran las flechas del nudo 3 y el momento en la sección central de la estructura para modelizaciones de 3, 9, 16 y 36 elementos, así como los errores para cada discretización. Es de señalar que el método propuesto proporciona valores mucho más precisos que el tradicional para una misma discretización, sobre todo para las tensiones, parámetros de primordial importancia en el análisis por elementos finitos; véase, p.e., cómo los valores con 16 elementos con el método propuesto superan en exactitud a los obtenidos con 36 por el MEF.
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 ==9. Ejemplo práctico 3==
-La estructura de la Fig.4, extraída de la Ref.6,<sup>§4.5</sup> es una viga simplemente apoyada sometida al peso propio, con un peso total de 4000 unidades de carga y los mismos valores de las restantes características de la estructura anterior. Se pretende calcular la flecha y tensión en el punto central A de la cara inferior de la viga para una modelización de 5 elementos.
+La estructura de la [[#img-4|Figura 4]], extraída de la Ref. [6],<sup>§4.5</sup> es una viga simplemente apoyada sometida al peso propio, con un peso total de 4000 unidades de carga y los mismos valores de las restantes características de la estructura anterior. Se pretende calcular la flecha y tensión en el punto central A de la cara inferior de la viga para una modelización de 5 elementos.
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 '''Figura 4'''. Viga simplemente apoyada sometida a peso propio.
 Dimensiones, numeración y de elementos.
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-Siguiendo los mismos pasos expuestos en el §7 y extrayendo del vector solución '''s '''los valores que se desean calcular se confecciona la Tabla 11 donde se comparan los valores obtenidos por el método tradicional y el método propuesto
+Siguiendo los mismos pasos expuestos en el §7 y extrayendo del vector solución '''s '''los valores que se desean calcular se confecciona la [[#tab-11|Tabla 11]] donde se comparan los valores obtenidos por el método tradicional y el método propuesto
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 ===9.1 Análisis de la convergencia===
-Finalmente se calcula la misma estructura para modelizaciones de 10, 15 y 20 elementos con objeto de analizar la convergencia de resultados, obteniendo los valores de la Tabla 12 en la que se repiten los obtenidos para 5 elementos y ya expuestos en la tabla anterior y en la que nuevamente se observa la tendencia de los valores hacia la solución exacta al aumentar el número de elementos.
+Finalmente se calcula la misma estructura para modelizaciones de 10, 15 y 20 elementos con objeto de analizar la convergencia de resultados, obteniendo los valores de la [[#tab-12|Tabla 12]] en la que se repiten los obtenidos para 5 elementos y ya expuestos en la tabla anterior y en la que nuevamente se observa la tendencia de los valores hacia la solución exacta al aumentar el número de elementos.
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 '''Figura 3'''. Viga en voladizo Dimensiones, numeración de nudos, de elementos y cargas en el extremo libre
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 ==8. Ejemplo práctico 2: voladizo en flexión simple==
-La estructura que se muestra en la Fig.3 está analizada las Refs. 4<sup>§6.11</sup>, 5<sup>§9.8</sup> y 6<sup>§4.5</sup> con los datos de la Tabla 7 para cada una de ellas y en la que se pretende calcular la flecha en el punto C y la tensión normal ''σ<sub>x</sub>'' en los puntos A y B utilizando una discretización de sólo 5 elementos rectangulares de 4 nodos
+La estructura que se muestra en la [[#img-3|Figura 3]] está analizada las Refs. 4<sup>§6.11</sup>, 5<sup>§9.8</sup> y 6<sup>§4.5</sup> con los datos de la [[#tab-7|Tabla 7]] para cada una de ellas y en la que se pretende calcular la flecha en el punto C y la tensión normal ''σ<sub>x</sub>'' en los puntos A y B utilizando una discretización de sólo 5 elementos rectangulares de 4 nodos
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 <span style="text-align: center; font-size: 75%;"><sup>*</sup>Aunque estos datos no aparecen de forma explícita en la referencia, los resultados que figuran en ella concuerdan con los valores de la Tabla.</span></div>
-Procediendo de idéntica forma que en el ejemplo anterior, se obtienen los resultados que figuran en la Tabla 8 en la que, como puede observarse, los resultados dados por el MEF tradicional son altamente inexactos debido, entre otras cosas, a la grosera modelización adoptada, sobre todo para los datos de la Ref.6 en la que los errores se disparan debido a un valor mayor de la relació ''a/b'' del elemento rectangular elegido, relación que no afecta negativamente a los valores obtenidos por el método propuesto, sino más bien al contrario, como puede observarse comparando los valores de la última fila de las Tablas 8 y 9. Para solventar este problema, Babuška y Rheinboldt en 1970, y más recientemente en las referencias 5, 6 y 8, se proponen procedimientos alternativos que, aunque con un mayor número de elementos, consiguen unos resultados que pueden considerarse totalmente aceptables. Concretamente, en la Ref.6 figuran unos resultados muy similares a los que se obtienen con el procedimiento que en este trabajo se propone, aunque en éste el número de elementos es de 5, mientras que en aquél son necesarios al menos 1192. Por último, se resumen en la Tabla 4 los errores relativos en % para cada uno de los tres ejercicios propuestos.
+Procediendo de idéntica forma que en el ejemplo anterior, se obtienen los resultados que figuran en la [[#tab-8|Tabla 8]] en la que, como puede observarse, los resultados dados por el MEF tradicional son altamente inexactos debido, entre otras cosas, a la grosera modelización adoptada, sobre todo para los datos de la Ref. [6] en la que los errores se disparan debido a un valor mayor de la relació ''a/b'' del elemento rectangular elegido, relación que no afecta negativamente a los valores obtenidos por el método propuesto, sino más bien al contrario, como puede observarse comparando los valores de la última fila de las [[#tab-8|Tablas 8]] y [[#tab-9|9]]. Para solventar este problema, Babuška y Rheinboldt en 1970, y más recientemente en las referencias [5], [6] y [8], se proponen procedimientos alternativos que, aunque con un mayor número de elementos, consiguen unos resultados que pueden considerarse totalmente aceptables. Concretamente, en la Ref. [6] figuran unos resultados muy similares a los que se obtienen con el procedimiento que en este trabajo se propone, aunque en éste el número de elementos es de 5, mientras que en aquél son necesarios al menos 1192. Por último, se resumen en la [[#tab-4|Tabla 4]] los errores relativos en % para cada uno de los tres ejercicios propuestos.
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 ===8.1 Análisis de la convergencia===
-Para mostrar cómo a medida que la discretización se hace más tupida los resultados convergen hacia la solución teórica exacta, se ha calculado la misma estructura con modelados de 10, 15 y 20 elementos y con los datos de cada una de las referencias. Los resultados se muestran en la Tabla 10, en la que se repiten los obtenidos anteriormente para una discretización de 5 elementos y en la que se puede observar cómo todos los valores se acercan a su valor exacto al aumentar el número de elementos, siendo de resaltar cómo, según ya se comentó en el ejemplo anterior, la tensión en el punto B es exacta aún para sólo 5 elementos, pero no así en el punto A, donde la tensión se va haciendo más precisa a medida que aumenta la densidad de la discretización.
+Para mostrar cómo a medida que la discretización se hace más tupida los resultados convergen hacia la solución teórica exacta, se ha calculado la misma estructura con modelados de 10, 15 y 20 elementos y con los datos de cada una de las referencias. Los resultados se muestran en la [[#tab-10|Tabla 10]], en la que se repiten los obtenidos anteriormente para una discretización de 5 elementos y en la que se puede observar cómo todos los valores se acercan a su valor exacto al aumentar el número de elementos, siendo de resaltar cómo, según ya se comentó en el ejemplo anterior, la tensión en el punto B es exacta aún para sólo 5 elementos, pero no así en el punto A, donde la tensión se va haciendo más precisa a medida que aumenta la densidad de la discretización.
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